Questo è il testo del problema:
"In un quadrato di lato 1 sono disposte alcune circonferenze; la somma dei loro perimetri è 10.
1) Dimostrare che le circonferenze date sono almeno 4
2) Dimostrare che esiste una retta che ne interseca almeno 4"
Questa è la mia risoluzione:
1) La circonferenza massima, tangente a tutti e quattro i lati, ha perimetro:
$2p_(max)=2*pi*(1/2)=pi$
Se le circonferenze fossero solo massime, per raggiungere un perimetro di 10 ne occorrerebbero $10/pi=3,18..$, più di 3. Di conseguenza le circonferenze devono essere almeno 4.
2) Dimostro che, se le circonferenze sono 4, è impossibile che esse siano tra loro esterne.
Il raggio medio delle circonferenze è $2*pi*r_(medio)=10/4$, $r_(medio)=5/(pi*4)=0,3975$
Le quattro circonferenze allineate occuperebbero (se fossero tangenti esternamente)
$(4*r_(medio))*2=3,18$, lunghezza maggiore del segmento interno massimo del quadrato, cioè la diagonale, pari a $sqrt2$. Perciò è impossibile.
Tre circonferenze allineate occuperebbero $(3*r_(medio))*2=2,385$, ancora maggiore.
Due circonferenze allineate $(2*r_(medio))*2=1,59$, di nuovo maggiore.
Di conseguenza, se le circonferenze sono 4, nessuna di esse può essere esterna a nessun'altra, poiché non esiste alcun segmento interno al quadrato lungo abbastanza da contenere i due diametri. Quindi, ci sarà una parte di spazio comune a tutte e quattro le circonferenze, e qualunque retta che passi per tale spazio interseca tutte e quattro le circonferenze.
Se generalizziamo questo ragionamento $r_(medio)=5/(pi*n)$, con $n$ il numero di circonferenze.
Chiamano $x$ il numero di circonferenze che possono allinearsi:
$2*(5/(pi*n))*x=sqrt2$
$x=(sqrt2*pi/10)*n=0,444*n$
Affinchè $x$ sia almeno uguale a 2, $0,444*n=2$, $n=4,5$, le circonferenze devono essere almeno 5. Due di queste circonferenze possono essere allineate, ma devono intersecarsi ciascuna con le altre 3. Perciò ci saranno due regioni di spazio comuni a quattro circonferenze, per il quale spazio può passare la retta che le interseca.
E così via al crescere di $n$.
Che ne pensate? Sinceramente, non sono molto convinta del ragionamento, a causa dell'introduzione del "raggio medio", che mi lascia un po' perplessa. Grazie mille!