Soluzioni intere dell'equazione - SNS 1974

[elios]

"Dimostrare che le soluzioni intere positive dell'equazione $x+y+z=x*y*z$ sono numeri distinti. Dimostrare che l'unica soluzione è costituita dalla terna $1$,$2$,$3$."

Per quanto riguarda la prima parte, ho ipotizzato per assurdo che $x=y$. L'equazione si riduce a:
$2x+z=x^2*z$
$x^2*z-2x-z=0$
$x_(1,2)=(1+-sqrt(1+z^2))/z$
$1+z^2$ non può essere un quadrato perfetto, per nessuno $z$ intero, e quindi le soluzioni a questa equazione non solo non sarebbero intere, ma neppure razionali.
E' corretto?

Per risolvere la seconda parte, mi consigliate di tentare di risolvere l'equazione oppure di dimostrare (forse anche questa volta per assurdo) che non ci possono essere altre soluzioni all'infuori di quella data?

Grazie dell'aiuto.

[Gatto89]

La prima parte mi sembra corretta (unica cosa, durante la prova dovresti scrivere che puoi supporre senza perdita di generalità di studiare solo $x = y$ perchè l'equazione è simmetrica in tutte e 3 le variabili).

Per la seconda parte, puoi vedere l'equazione dopo due passaggi elementari come $x = (y + z)/(yz - 1)$ e a questo punto dimostrare che le uniche soluzioni per cui $(y + z)/(yz - 1)$ è intero e positivo sono quelle descritte dal testo.

[Steven]

Per la prima parte non ripeto quanto detto giustamente da Gatto89.

Per la seconda, vai un attimo a senso: non ti sembra che il secondo membro sia un tantino più grande del primo?
Intendo, al crescere di $x,y,z$, il secondo membro è decisamente più veloce a salire del primo.
Quindi potresti provare che il secondo membro è maggiore del primo per valori diversi da quelli che danno l'uguaglianza.

Aiuto: $3x<xyz$ infatti $3<yz$ che è vera visto che $z$ e $y$ sono maggiore di 3 per ipotesi.
Prova a continuare, sennò concludo io
E ricorda che l'equazione è simmetrica rispetto a ogni varibile.

Ciao!

[elios]

Per la seconda parte, puoi vedere l'equazione dopo due passaggi elementari come $x = (y + z)/(yz - 1)$ e a questo punto dimostrare che le uniche soluzioni per cui $(y + z)/(yz - 1)$ è intero e positivo sono quelle descritte dal testo.

ok ci sto provando.. Devo provare che $y+z$ non è mai multiplo di $yz-1$ tranne che per quei valori..

[elios]

Aiuto: $3x<xyz$ infatti $3<yz$ che è vera visto che $z$ e $y$ sono maggiore di 3 per ipotesi.
Prova a continuare, sennò concludo io
E ricorda che l'equazione è simmetrica rispetto a ogni varibile.

Mi verrebbe da dire una cosa del genere: dato che so che $x$,$y$,$z$ devono essere diversi tra loro, posso chiamare $x$ il valore minore e scrivere che $3x<xyz$, che , come hai detto tu, è sicuramente vera. Ma se chiamo $y$ il valore intermedio e scrivo $3y<xyz$, anche questa disequazione è vera se consideriamo $x,y,z$ che devono essere maggiori di 3 (per ipotesi). E lo stesso per $z$ (il valore più grande), per cui è sempre verificata $3z<xyz$. Ciò implica che non c'è mai una terna di valori per cui $x+y+z=xyz$.
E' molto "rough"! che ne dici?

[Steven]

Ciò implica che non c'è mai una terna di valori per cui $x+y+z=xyz$.
E' molto "rough"! che ne dici?

Ma non mi pare "rough"
Non so se lo sottointendevi, ma il modo con cui si conclude è che
$3x<xyz$
$3y<xyz$
$3z<xyz$
Sommando le tre disequazioni
$3x+3y+3z<3xyz$

$x+y+z<xyz$

Pertanto per i valori diversi da $1,2,3$ vale la diseguaglianza stretta, e non c'è speranza di soddisfare l'uguaglianza.
Ciao!

[elios]

Ok, sì intendevo qualcosa del genere.. Ti dicevo che come l'esprimevo io era proprio "rough"!

Volevo chiedere a Gatto89 se pensa che la strada verso cui mi portavi possa essere migliore di questa.. Grazie!

[Gatto89]

Non penso cambi molto in questo caso, tanto anche la strada che ti avevo indicato io si concludeva con una considerazione simile (ovvero sul fatto che $yz$ cresce molto più velocemente di $y + z$ quindi quella frazione per $y,z \geq 3$ non sarà mai intera).
In genere però in esercizi come questo può essere utile ricondursi da tre a due variabili per semplificarsi molto la vita

[elios]

Grazie del consiglio! =)