Somma e prodotto di interi positivi - SNS 2003

[elios]

"a) Si sa che la somma di due interi positivi è 30030. Si dimostri che il loro prodotto non è divisibile per 30030.
b) E' ancora vera questa proprietà se si sostituisce il numero 30030 con 11550?
c) E, in generale, per quali numeri $a$ il prodotto di due interi positivi con somma $a$ è divisibile per $a$?"

Io l'ho risolto in questo modo:

a) $p+q=30030$, $p=30030-q$
$p*q=(30030-q)*q=30030*q-q^2=30030(q-q^2/30030)$, che è divisibile per 30030 solo se $q-q^2/30030$ è un numero intero, e lo è solo se $q^2/30030$ è un numero intero:
$q^2=k*30030$, con $k$ numero intero.
$q=sqrt(k*30030)$.
Essendo $30030=2*3*5*7*11*13$, il valore minimo di $k$ per cui $sqrt(k*30030)$ sia un numero intero è $k=2*3*5*7*11*13=30030$. Ma in tal caso $q=30030$, $p=0$, $p*q=0$, che è l'unico caso per cui $p*q$ è divisibile per 30030. (Infatti per $k$ maggiori al valore minimo, $q>30030$, il che preclude l'esistenza di $p$).

b) Per lo stesso ragionamento dovremmo avere
$q^2=k*11550$
$q=sqrt(k*11550)$.
Essendo $11550=2*3*5^2*7*11$, il valore minimo di $k$ per cui $sqrt(k*11550)$ sia un numero intero è $k=2*3*7*11$, da cui $q=sqrt(2^2*3^2*5^2*7^2*11^2)=2*3*5*7*11=2310$, e $p=9240$, $p*q=21344400=11550*1848$.
Quindi no, questa proprietà non è vera per 11550.

c) $p+q=a$, $p=a-q$
$p*q=(a-q)*q=a*q-q^2=a(q-q^2/a)$
e per lo stesso ragionamento
$q^2=k*a$
$q=sqrt(k*a)$
Si ha risultato accettabile solo se $q$ risulta diverso da $a$, cioè se $k$ è diverso da $a$, sempre ottenendo che $k*a$ sia un quadrato perfetto. E per ottenere ciò la fattorizzazione di $a$ deve presentare degli esponenti diversi da 1.

E' corretto? Grazie.

[adaBTTLS]

mi pare proprio di sì!

[G.D.]

Quoto adaBTTLS.

[elios]

Grazie mille della conferma

[adaBTTLS]

di nulla!

[stefano.c]

che cosa significa SNS 2003 ?

[G.D.]

Scuola Normale Superiore Anno 2003.
Ci si riferisce in particolare alla SNS di Pisa.
Questi sono dei problemi presi dai test d'ammissione a Matematica.