Spezzata dalla lunghezza minima - SNS 1969

[elios]

"In un piano sono dati una retta $r$ e due punti $L$, $M$ fuori di essa. Inoltre è assegnata una lunghezza $a$. Determinare sulla retta $r$ due punti $H$, $K$ tali che il segmento $HK$ abbia lunghezza $a$ e sia minima la lunghezza della spezzata $LHKM$."

Ho provato a risolverlo trigonometricamente. Chiamando $l$ e $m$ le distanze di $L$ ed $M$ rispettivamente dalla retta $r$, e chiamando $x$ e $y$ l'angolo d'inclinazione rispetto alla verticale che i segmenti $LH$ e $MK$ formano, ho scritto che la lunghezza della spezzata da minimizzare si riduce a:
$LH+KM=l/(cosx)+m/(cosy)$
Contemporaneamente devo imporre che, chiamando $LM$ la distanza orizzontale (cioé lungo la retta $r$) fra $L$ e $M$, e chiamando $L'$ e $M'$ le proiezioni di $L$ e $M$ su $r$, risulti:
$L'H+a+KM'=LM$
$tgx*l+tgy*m+a=LM$.
Adesso dovrei sfruttare queste due equazioni per lasciare la funzione da minimizzare ad una sola variabile, però avendo i coseni da una parte e le tangenti dall'altra i calcoli si complicano..
Ci sono altre strade che potete consigliarmi di intraprendere? Grazie

[adaBTTLS]

così facendo, tu dai per scontato che HK sia interno ad L'M', ma non è così.
forse si potrebbe partire proprio dal distinguere i tre casi ...
prova a ragionarci su, intanto ci penso anch'io ....

[elios]

Beh, dato che si devono determinare i punti $H$ e $K$ affinché la lunghezza della spezzata sia minima, tali punti dovrebbero effettivamente trovarsi all'interno di L'K'.. Comunque provo a differenziare i casi..

[adaBTTLS]

intendevo dire che $bar(L'M')$ può essere maggiore, uguale o minore di $a$.
io ho provato diverse strade.
una mi ha portato ad una soluzione (caso dei punti $L'HKM'$ in quest'ordine, con $bar(L'M')=b$), $bar(L'H)=(l(b-a))/(m+l)$.
la cosa è abbastanza elaborata, ma si potrebbe procedere analogamente per gli altri 3 casi non banali ($a != b$).

[elios]

Come lo hai ricavato?
Perché dici che ci sono altri tre casi non banali? Il caso banale è $a=b$, in cui $H$ e $K$ sono le proiezioni di $L$ e $M$ lungo la retta. Poi ci sono i casi $a<b$ e $a>b$, quale altro?

[elios]

Comunque la quantità da minimizzare nei due casi è sempre la stessa..

[elios]

Di logica (e ho cercato di farne una dimostrazione molto molto grezza), $HK$ deve avvicinarsi al punto più lontano dalla retta (questo nel caso in cui $a<b$). Però non riesco a trasformare questa valutazione qualitativa in una definizione quantitativa..

[adaBTTLS]

hai pensato ad esempio al caso in cui i punti si succedano nell'ordine $M'HKL'$, cioè, nel caso di $L,M$ nello stesso semipiano individuato da $HK$ venga una poligonale intrecciata?

[elios]

beh, non credo che sia corretto come caso. Il problema è come se ci dicesse di calcolare la spezzata dati due punti e determinandone altri due. Credo che, avendo 4 punti, la spezzata sia quella che li collega senza "intrecciarsi", o mi sbaglio?

[adaBTTLS]

sì, se dice di determinarli, hai ragione tu. io mi ero lasciata influenzare dal fatto che parlava di segmento $HK$ di lunghezza $a$.
in tal caso il problema è quasi risolto, perché nell'altro caso basta sostituire $b-a$ con $a-b$ ...