Kiliz ha scritto:Sergio ha scritto:Kiliz ha scritto:Dobbiamo valutare cioè se $E(bar(x))=mu$
Sono stato io il primo a parlare di $mu$ in questa discussione, ma... andavo di fretta e, come dicono i matematici, "ho perso di generalità".
Uno stimatore è corretto (non distorto) se il suo valore atteso è uguale al parametro che si intende stimare.
E' vero che "valore atteso" e "media" sono quasi la stessa cosa (dico quasi perché una media è un numero che viene calcolato sommando $n$ numeri e dividendo poi per $n$, un valore atteso è l'integrale di una variabile aleatoria rispetto ad una misura di probabilità), ma il parametro che si intende stimare non è sempre una media.
Ad esempio, se $X$ è una variabile aleatoria normale, i parametri della sua distribuzione sono media e varianza e si ha che $E[X]=mu$. Se $X$ è però di altro tipo, ad esempio se è binomiale di parametri $n$ e $p$, allora $E[X]=np$; se è di Poisson di parametro $lambda$, allora $E[X]=lambda$ ecc.
Il risultato generale è quindi quello di cui ho riportato sopra la dimostrazione: $E[\bar X_n]=E[X]$.
Ciò premesso, se ci si limita alla distribuzione normale quello che dici mi torna
Potrei magari aggiungere qualcosa per dare un esempio classico di stimatore distorto. Questa volta cerco di essere un po' più attento e preciso:
a) dato un campione casuale, se la variabile aleatoria di base quale che sia ammette valore atteso $E[X]$ e varianza $V[X]$ finiti, allora si dimostra che il valore atteso della varianza campionaria $\hat sigma_n^2=1/n sum_i^n(X_i-\bar X)^2$ è uguale a $(n-1)/n V[X]$;
b) ne segue che, se la variabile aleatoria di base ha distribuzione normale di parametri $mu$ e $sigma^2$, con $V[X]=sigma^2$, dal momento che $E[\hat sigma_n^2]=(n-1)/n V[X]=(n-1)/n sigma^2$, cioè che $E[\hat sigma_n^2] != sigma^2$, la varianza campionaria è uno stimatore distorto del parametro $sigma^2$; è invece uno stimatore non distorto la varianza campionaria corretta $S_n^2=1/(n-1)sum_i^n(X_i-\bar X)^2$, infatti $E[S_n^2]=E[n/(n-1)\hat sigma_n^2]=V[X]$.
anche qui non c'è davvero nulla da dire, praticamente ora il creatore del thread ha tutti gli elementi sulla correttezza degli stimatori di media e varianza per un campione estratto da una popolazione NORMALE di media $mu$ e varianza $sigma^2$. Io ho scelto di verificare la correttezza di $mu$ estratto con CCS da una pop normale ma avrei potuto scegliere di verificare correttezza dello stimatore "talditali" con un campione estratto da una popolazione "talditali".
Salutii
molto interessante, grazie
