studio di un endomorfismo...

[3lyy]

ciao a tutti...vorrei delle spiegazioni chiare su cosa si intende lo studio di un ENDOMORFISMO...
io ho provato a gestire l'esercizio in questo modo :
- calcolo il rango della matrice formata dai vettori dell'andomorfismo; rk=Im f
- din Ker f = dim sottospazio- dim Im f
-ho trovato una base dell' Im f
- se il det della mia matrice è diverso da zero allora è un AUTOMORFISMO
-se è uguale a zero ?? NON SO COSA SARA'

Poi mi calcolo il polinomio caratteristico ed i relativi autovalori per vedere se è semplice(diagonalizzabile) o meno!


giusto?

[clever]

Quando il determinante della matrice è $0$ vuol dire che sicuramente è diagonalizzabile ed è una matrice simmetrica, hai un un autovalore del tipo $lambda=0$
Spero di non sbagliarmi

[dissonance]

@clever: Con questo post sei riuscito a sbagliare TUTTO lo sbagliabile. Complimenti.

[Paolo90]

Quando il determinante della matrice è $0$ vuol dire che sicuramente è diagonalizzabile ed è una matrice simmetrica, hai un un autovalore del tipo $lambda=0$
Spero di non sbagliarmi

No, clever, mi dispiace, ma quanto affermi è scorretto (sia grammaticalmente, sia matematicamente).

In linea di massima, 3lyy, ciò che scrivi è corretto, anche se la terminologia non è esattamente precisa.

Quando hai un endomorfismo di uno spazio vettoriale $f: V to V$, per prima cosa scrivi la matrice associata rispetto a una base a quest'endomorfismo. Il rango di questa matrice è la dimensione dell'immagine, il nullspace della matrice è il nucleo.

Una base dell'immagine la trovi prendendo un numero di colonne linearmente indipendenti pari al rango.

Ancora, se il determinante è non nullo, allora la matrice ha rango massimo e l'endomorfismo è invertibile (è biettivo): quindi è un automorfismo.
Se il determinante è nullo, tutto ciò che puoi dire è che non è automorfismo: devi determinare immagine e nucleo.

Poi - se richiesto - procedi al calcolo del polinomio caratteristico e fai tutte le considerazioni del caso circa la semplicità dell'endomorfismo.

Spero di esserti stato utile.

[3lyy]

Quando il determinante della matrice è $0$ vuol dire che sicuramente è diagonalizzabile ed è una matrice simmetrica, hai un un autovalore del tipo $lambda=0$
Spero di non sbagliarmi

No, clever, mi dispiace, ma quanto affermi è scorretto (sia grammaticalmente, sia matematicamente).

In linea di massima, 3lyy, ciò che scrivi è corretto, anche se la terminologia non è esattamente precisa.

Quando hai un endomorfismo di uno spazio vettoriale $f: V to V$, per prima cosa scrivi la matrice associata rispetto a una base a quest'endomorfismo. Il rango di questa matrice è la dimensione dell'immagine, il nullspace della matrice è il nucleo.

Una base dell'immagine la trovi prendendo un numero di colonne linearmente indipendenti pari al rango.

Ancora, se il determinante è non nullo, allora la matrice ha rango massimo e l'endomorfismo è invertibile (è biettivo): quindi è un automorfismo.
Se il determinante è nullo, tutto ciò che puoi dire è che non è automorfismo: devi determinare immagine e nucleo.

Poi - se richiesto - procedi al calcolo del polinomio caratteristico e fai tutte le considerazioni del caso circa la semplicità dell'endomorfismo.

Spero di esserti stato utile.

grazie Paolo... quindi avevo capito bene...
x quanto riguarda lo studio della semplicità come procedo?
Determini i miei autovalori se ne ho 3 distinti allora x definizione è semplice l'endomorfismo...ma se così non fosse come procedo? grazie

[Paolo90]

Prego figurati.

Per quanto riguarda la semplicità, ci sono i criteri di diagonalizzazione... li hai studiati?

[3lyy]

Grazie per il "supporto"...
Si si li ho studiati...
in base alla molteplicità algebrica e quella geometrica giusto? il problema sorge sulle applicazioni scritte!
Faccio bene a dare una giustificazione puramente teorica quando ho 3 autovalori tutti distinti?

[Paolo90]

Grazie per il "supporto"...
Si si li ho studiati...
in base alla molteplicità algebrica e quella geometrica giusto? il problema sorge sulle applicazioni scritte!
Faccio bene a dare una giustificazione puramente teorica quando ho 3 autovalori tutti distinti?

Non ho capito bene cosa intendi. Comunque io conosco questo

Teorema. Dato un endomorfismo $f:V to V$, i seguenti fatti sono equivalenti:
1. $f$ è semplice (ammette una base di autovettori);
2. $V_(lambda_1) oplus V_(lambda_2) oplus ... oplus V_(lambda_k) = V$
3. $"dim" V_(lambda_1) + "dim" V_(lambda_2) + ... + "dim" V_(lambda_k) = "dim"V$
4. il polinomio caratteristico di $f$ ha tutte le radici reali e, per ogni radice, molt. algebrica e geometrica coincidono.

Segue come corollario, che se $V$ ha dimensione $n$ e $f$ ha $n$ autovalori distinti, allora $f$ è semplice. (perchè? )

[3lyy]

Non ho capito bene cosa intendi. Comunque io conosco questo

Teorema. Dato un endomorfismo $f:V to V$, i seguenti fatti sono equivalenti:

1. $f$ è semplice (ammette una base di autovettori)

3. $"dim" V_(lambda_1) + "dim" V_(lambda_2) + ... + "dim" V_(lambda_k) = "dim"V$


Segue come corollario, che se $V$ ha dimensione $n$ e $f$ ha $n$ autovalori distinti, allora $f$ è semplice. (perchè? )

il 1) punto l'ho capito
il 2) punto devo sostituire il valore di (lambda_1) (lambda_2)...(lambda_k) nella mia matrice e trovo la dimensione?


La tua domanda mi mette in crisi...meglio nn rispondere per non fare strafalcioni...sono andata benino fino ad ora

[Paolo90]

Con $lambda_i$ intendo il generico autovalore e con $V_(lambda_i)$ il relativo autospazio. E la dimensione dell'autospazio la si trova calcolando il nullspace di $(A-lambdaI)$. (forse era questo che intendevi con "sostituire nella matrice")

Quanto alla mia domanda non è difficile: pensaci. Tu hai tutti autovalori distinti, ciascuno di molteplicità algebrica $1$: quindi quanto può valere la loro molt. geometrica?