Teorema di Lagrange

[Lorin]

Qualcuno di buona volontà mi potrebbe spiegare cosa si intende per "Non inversione del teorema di lagrange?"

e perchè $A_4$ è il più piccolo gruppo in cui esso non si inverte?!

grazie

[Martino]

Il teorema di Lagrange afferma che l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo.

Il "viceversa" affermerebbe che dato un gruppo finito $G$, per ogni divisore $d$ di $|G|$ esiste un sottogruppo $H$ di $G$ di ordine $d$.

In $A_4$, che ha ordine $12$, non esistono sottogruppi di ordine $6$. Quindi $A_4$ è un controesempio al suddetto viceversa, che quindi è falso.

[Lorin]

ho capito....grazie

PS
scusa la domanda, ma tu sei algebrista? Nel senso che vedendoti spesso rispondere in questa sezione del forum, mi chiedevo se lo fossi.

[Martino]

PS
scusa la domanda, ma tu sei algebrista? Nel senso che vedendoti spesso rispondere in questa sezione del forum, mi chiedevo se lo fossi.

Diciamo che ho fatto la tesi di teoria dei gruppi e farò un dottorato di teoria dei gruppi quindi in un certo senso sì.

[Soloandre]

Riapro la discussione dopo due anni.
Volevo appunto chiedere spiegazioni riguardo al controesempio del teorema di Lagrange per gruppi, quindi mi sembra inutile aprire un nuovo post.

Come faccio a dimostrare che in $A_4$ non ci sono sottogruppi di ordine 6?
Intendo dire che $A_4$ e' un gruppo piccolino, quindi posso verificarlo empiricamente.

La mia domanda e' questa:
Esiste un algoritmo semplice per verificare se un gruppo ammette sottogruppi di un certo ordine?

Per esempio esistono sottogruppi di ordine 36 di $A_6$ (che ha ordine 360) ?

[menale]

Un metodo "rapido" per ciò che ne so io non puoi di certo trovarlo , quindi devi trovare degli escamotage . Nel caso della non-esistenza di un sottogruppo di ordine 6 nel tuo \(A_4\) puoi ragionare per assurdo ammettendo l'esistenza di un sottogruppo di ordine 6 ed in tal modo arriverai ad un assurdo . Ma ti dico che in generale non esiste un metodo universale per verificare l'esistenza o meno di determinati sottogruppi , se non nei casi in cui puoi invertire il teorema di Lagrange .

[Lorin]

Un metodo "rapido" per ciò che ne so io non puoi di certo trovarlo , quindi devi trovare degli escamotage . Nel caso della non-esistenza di un sottogruppo di ordine 6 nel tuo \(A_4\) puoi ragionare per assurdo ammettendo l'esistenza di un sottogruppo di ordine 6 ed in tal modo arriverai ad un assurdo . Ma ti dico che in generale non esiste un metodo universale per verificare l'esistenza o meno di determinati sottogruppi , se non nei casi in cui puoi invertire il teorema di Lagrange .

E direi che uno strumento utile di investigazione dei gruppi ed eventuale struttura sono i teoremi di Sylow, che sono dei risultati che in parte risolvono il problema dell'invertibilità del teorema di Lagrange

[Paolo90]

Un'osservazione idiota, che però qualcuno deve pur fare: il teorema di Lagrange si inverte completamente per i gruppi ciclici. E' un buon risultato, da tenere a mente.

[Lorin]

Secondo me è una finezza!

[Martino]

Come faccio a dimostrare che in $A_4$ non ci sono sottogruppi di ordine 6?
Intendo dire che $A_4$ e' un gruppo piccolino, quindi posso verificarlo empiricamente.

Detto \( \displaystyle H \) un sottogruppo di \( \displaystyle A_4 \) di ordine 6, esso dev'essere normale (avendo indice 2), quindi \( \displaystyle A_4 \) ci agisce sopra per coniugio e manda il suo sottogruppo di ordine 3 in se stesso (un gruppo di ordine 6 ha un solo sottogruppo di ordine 3: il suo 3-Sylow), e questo contraddice il fatto (elementare da verificare a mano - ci vogliono dieci secondi) che \( \displaystyle A_4 \) non ha sottogruppi normali di ordine 3.

La mia domanda e' questa:
Esiste un algoritmo semplice per verificare se un gruppo ammette sottogruppi di un certo ordine?

Purtroppo no.

Per esempio esistono sottogruppi di ordine 36 di $A_6$ (che ha ordine 360) ?

Sì, un esempio e' il seguente: \( \displaystyle \langle (123),\ (456),\ (1425)(36) \rangle \) . L'ho ottenuto considerando un sottogruppo di ordine 9 - necessariamente della forma \( \displaystyle C_3 \times C_3 \) , e quindi posso supporre che sia \( \displaystyle \langle (123),(456) \rangle \) - e poi cercando un elemento di ordine 4 che lo normalizzi (nella fattispecie, il coniugio con \( \displaystyle (1425)(36) \) fa \( \displaystyle (123) \mapsto (456) \mapsto (123)^{-1} \) ).

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Aggiungo che il teorema di Lagrange si inverte completamente per i gruppi finiti nilpotenti (che sono i prodotti diretti finiti di gruppi finiti di ordine una potenza di un primo). In generale non vale l'unicità.

Non dimentichiamo il teorema di Hall: Se \( \displaystyle G \) è un gruppo risolubile finito e \( \displaystyle d \) è un divisore di \( \displaystyle |G| \) coprimo con \( \displaystyle |G|/d \) allora esiste \( \displaystyle H \leq G \) di ordine \( \displaystyle d \) (e tutti i sottogruppi di ordine \( \displaystyle d \) sono coniugati).

E non dimentichiamo il teorema di Schur-Zassenhaus: se \( \displaystyle G \) è un gruppo finito con un sottogruppo normale \( \displaystyle N \) tale che \( \displaystyle |N| \) e \( \displaystyle |G:N| \) sono coprimi allora esiste \( \displaystyle H \leq G \) di ordine \( \displaystyle |G:N| \) .