Teorema fondamentale dell'algebra: dimostrazioni

[alvinlee88]

Teorema: ogni polinomio in una variabile a coefficienti complessi, non costante, ha una radice complessa.

Quante dimostrazioni esistono di questo teorema? Io ne ho incontrate 3, fra cui una tutta algebrica (ed era ora) che usa la teoria di Galois, che poi magari posto.
Volevo fare una sorta di censimento, chi inizia?

[gugo82]

Una delle più semplici e classiche usa la teoria delle funzioni olomorfe; in particolare il teorema di Liouville (se ricordo bene).

[alvinlee88]

Una delle più semplici e classiche usa la teoria delle funzioni olomorfe; in particolare il teorema di Liouville (se ricordo bene).

Non mi sembra di conoscerla, magari se hai tempo e voglia postala. Questo intendevo quando ho parlato di censimento.

[dissonance]

Una curiosità: quella che dice Gugo è la dimostrazione a cui fa riferimento J.S.Milne qui, pag.49 nota 18.

[gugo82]

Ok alvin...Ti accontento subito (dato che ci vogliono davvero due righe).

Un fatto fondamentale di Analisi Complessa è il seguente Teorema di Liouville:

Le uniche funzioni intere limitate sono le funzioni costanti; il che equivale a dire che se \( \displaystyle f:\mathbb{C} \to \mathbb{C} \) è una funzione olomorfa (i.e. derivabile in senso complesso) in tutto \( \displaystyle \mathbb{C} \) e se esiste un \( \displaystyle M\geq 0 \) tale che:

\( \displaystyle \forall z\in \mathbb{C} ,\ |f(z)|\leq M \)

allora \( \displaystyle f \) è costante.

(Questo non è vero in \( \displaystyle \mathbb{R} \) : ad esempio \( \displaystyle \frac{1}{1+x^2} \) è limitata e di classe \( \displaystyle C^\infty \) ma si guarda bene dall'essere costante!)
Il risultato di Liouville si dimostra usando alcune stime che conseguono dal Teorema integrale di Cauchy.

Vogliamo provare il Teorema Fondamentale dell'Algebra:

Se \( \displaystyle P(z) \) è un polinomio di grado \( \displaystyle \geq 1 \) a coefficienti in \( \displaystyle \mathbb{C} \) allora \( \displaystyle P(z) \) ha tutte le sue radici in \( \displaystyle \mathbb{C} \) .

Conseguentemente \( \displaystyle \mathbb{C} \) è un campo algebricamente chiuso.

Prima d'iniziare, una richiesta di clemenza: consentitemi di confondere, come fa ogni buon analista, il polinomio \( \displaystyle P\in \mathbb{C}[Z] \) con l'applicazione polinomiale ad esso associata \( \displaystyle P(z) \) (cosa che si può fare senz'altro perchè \( \displaystyle \mathbb{C} \) è un campo "buono").

Dim.: Basta dimostrare che:

(A) \( \displaystyle P(z) \text{ ha almeno una radice in } \mathbb{C} \) .

Infatti, valendo l'algoritmo della divisione, se \( \displaystyle P(z) \) ha una radice \( \displaystyle z_0\in \mathbb{C} \) , allora si scrive \( \displaystyle P(z)=(z-z_0)\cdot Q(z) \) con \( \displaystyle Q(z) \) polinomio di grado \( \displaystyle \text{grad}(Q)=\text{grad}(P)-1 \) ; se \( \displaystyle \text{grad}(Q)>0 \) , allora quanto provato consente di trovare una radice \( \displaystyle z_1\in \mathbb{C} \) di \( \displaystyle Q(z) \) e di scrivere \( \displaystyle P(z)=(z-z_0)(z-z_1)\cdot R(z) \) con \( \displaystyle \text{grad}(R)=\text{grad}(P)-2 \) ; etc... In tal modo, dopo \( \displaystyle \text{grad}(P) \) passi, si ottiene \( \displaystyle P(z)=c\cdot (z-z_0)(z-z_1)\ldots (z-z_{\text{grad}(P)}) \) (con \( \displaystyle c\in \mathbb{C} \) ) sicché \( \displaystyle P(z) \) ha tutte le sue radici in \( \displaystyle \mathbb{C} \) .
Da ciò segue immediatamente che $\mathbb{C}$ è algebricamente chiuso.

Dimostriamo allora la (A).
Per assurdo, supponiamo che il polinomio \( \displaystyle P(z) \) non abbia alcuna radice in \( \displaystyle \mathbb{C} \) : in tal caso risulta ben definita in tutto \( \displaystyle \mathbb{C} \) la funzione \( \displaystyle f(z):=\frac{1}{P(z)} \) ed è inoltre anche olomorfa, giacché \( \displaystyle P(z) \) è derivabile e risulta:

\( \displaystyle f^\prime (z)=\frac{P^\prime (z)}{P^2(z)} \) .

Si ha:

1. \( \displaystyle \lim_{z\to \infty} |P(z)|=+\infty \) , cosicché \( \displaystyle \lim_{z\to \infty} |f(z)|=0 \) quindi fissato \( \displaystyle \varepsilon =1 \) esiste un \( \displaystyle R>0 \) tale che per \( \displaystyle |z|>R \) si ha \( \displaystyle |f(z)|\leq 1 \) ;

2. la \( \displaystyle f(z) \) è continua e, per il teorema di Weierstrass, la funzione reale \( \displaystyle |f(z)| \) è dotata di massimo in \( \displaystyle |z|\leq R \) : perciò esiste \( \displaystyle L>0 \) tale che per \( \displaystyle |z|\leq R \) si ha \( \displaystyle |f(z)|\leq L \) .

Le 1 e 2 implicano:

\( \displaystyle \forall z\in \mathbb{C} ,\ |f(z)|\leq \max \{ 1, L\} \) ,

cosicché \( \displaystyle f(z) \) è limitata in \( \displaystyle \mathbb{C} \) .
Il Teorema di Liouville assicura che \( \displaystyle f(z) \) è costante (e non nulla, poiché il numeratore è \( \displaystyle 1\neq 0 \) ) e ciò importa che \( \displaystyle P(z) \) è costante, ossia che \( \displaystyle \text{grad}(P)=0 \) ; ma cio è assurdo in quanto abbiamo supposto che \( \displaystyle \text{grad}(P)\geq 1 \) .

Pertanto \( \displaystyle P(z) \) ha almeno una radice in \( \displaystyle \mathbb{C} \) , ossia vale la (A). \( \displaystyle \square \)


@dissonance:

Una curiosità: quella che dice Gugo è la dimostrazione a cui fa riferimento J.S.Milne qui, pag.49 nota 18.

Concordo.

[Martino]

Io ne ho incontrate 3, fra cui una tutta algebrica (ed era ora)

Sicuro che sia tutta algebrica? A quanto ne so non esistono dimostrazioni solo algebriche perché la costruzione di $CC$ non è algebrica. Tipicamente bisogna usare almeno il fatto che ogni polinomio reale di grado dispari ha una radice reale, e questo non è un risultato dimostrabile algebricamente.

[angus89]

Io ne ho incontrate 3, fra cui una tutta algebrica (ed era ora)

Sicuro che sia tutta algebrica? A quanto ne so non esistono dimostrazioni solo algebriche perché la costruzione di $CC$ non è algebrica. Tipicamente bisogna usare almeno il fatto che ogni polinomio reale di grado dispari ha una radice reale, e questo non è un risultato dimostrabile algebricamente.

Comincio a sospettare che io e alvinlee88 abbiamo seguito lo stesso corso di algebra
Comunque è vero, se la dimostrazione è la stessa, di analisi si deve solo dimostrare che i polinomi di grado dispari hanno una radice reale

[Paolo90]

Scusate per il leggero OT, al massimo apro un altro topic ma sarei interessato a una cosa.

[...]perché la costruzione di $CC$ non è algebrica.[...]

Che cosa si intende? Premetto (come Martino già sa) che ho appena finito il corso di Algebra I, per cui le mie conoscenze sono senza dubbio inferiori alle vostre. Tuttavia, ho studiato in questo modo: all'inizio del corso, quando abbiamo dato le definizioni delle strutture algebriche, abbiamo strutturato $CC$ come campo con delle operazioni piovute dal cielo (create ad hoc perchè diventasse un campo).

Ovviamente, poi approfondito il discorso e proprio nelle ultime lezioni siamo arrivati a vedere $CC$ come (l'anello) quoziente di $RR[x]//(x^2+1)$, dove $(x^2+1)$ è l'ideale principale generato da $x^2+1$.

So poi che si può vedere $CC$ come estensione di $RR$ (ma questo non lo abbiamo visto a lezione, per cui non so benissimo che cosa si intenda: se aggiungo $i$ ad $RR$ ottengo $CC$ che è algebricamente chiuso, ma ripeto, non abbiamo visto estensioni di campi).

In ogni caso, pensavo che la costruzione di $CC$ fosse algebrica.
Che cosa mi sono perso?

Perdonate la mia curiosità .

E grazie di tutto

[Martino]

[...]perché la costruzione di $CC$ non è algebrica.[...]

Che cosa si intende? Premetto (come Martino già sa) che ho appena finito il corso di Algebra I, per cui le mie conoscenze sono senza dubbio inferiori alle vostre. Tuttavia, ho studiato in questo modo: all'inizio del corso, quando abbiamo dato le definizioni delle strutture algebriche, abbiamo strutturato $CC$ come campo con delle operazioni piovute dal cielo (create ad hoc perchè diventasse un campo).

Ovviamente, poi approfondito il discorso e proprio nelle ultime lezioni siamo arrivati a vedere $CC$ come (l'anello) quoziente di $RR[x]//(x^2+1)$, dove $(x^2+1)$ è l'ideale principale generato da $x^2+1$.

La questione è controversa, e non sono nemmeno sicuro di averla capita bene. Comunque la costruzione di $CC$ implica la costruzione di $RR$, e la costruzione di $RR$ non è algebrica, nel senso che per poter lavorare con $RR$ in un certo senso si identifica tale insieme alle sue proprietà (di solito lo si pensa come il completamento dello spazio metrico $QQ$). E le sue proprietà sono per lo più analitiche. In un certo senso $RR$ è un arricchimento analitico di $QQ$. Senza una qualche nozione di "completezza" temo che non vedremmo differenze sostanziali tra $QQ$ e $RR$. Quindi forse il punto è: $RR$ è definibile algebricamente (per esempio usando le sezioni di Dedekind) ma per poterci lavorare occorrono le sue proprietà analitiche.

Ma naturalmente questa è solo la mia opinione.

[Paolo90]

Ho aperto una nuova discussione per evitare di intasare il topic di alvinlee88. Grazie Martino per il tuo intervento e scusate l'intrusione.