Teoria 3: strategie miste

[Fioravante Patrone]

Abbiamo visto, in Teoria 1, l'enunciato e la dimostrazione del teorema di Nash. Questo teorema si applica in primis alla cosiddetta estensione mista di un gioco finito. O, per usare un linguaggio meno iniziatico, garantisce che ogni gioco finito abbia equilibrio in strategie miste.

In questo thread vedremo dapprima, in questo post, cosa vuol dire estensione mista di un gioco finito. Poi proverò che il teorema di Nash si può applicare a questa classe di giochi ed infine dedicherò un po' di spazio alla interpretazione delle strategie miste.

Sia dato un gioco in forma strategica, finito, con due giocatori: $(X,Y,f,g)$. Cosa sia un gioco in forma strategica è stato detto in Teoria 0 e Teoria 1. Il fatto di considerare due giocatori anziché un numero finito di giocatori è solo una questione di opportunità, di semplicità (tanto, non si perde nulla di essenziale).

Dire che il gioco è finito vuol dire che gli insiemi $X$ ed $Y$ sono finiti. Mi farà comodo descriverli nel modo seguente:
$X = {x_1, \ldots, x_m}$
$Y = {y_1, \ldots, y_n}$

Allora, l'estensione mista di $G = (X,Y,f,g)$ è il gioco in forma strategica, a due giocatori, $\hat G = (\hat X, \hat Y, \hat f, \hat g)$, dove:
$\hat X = \Delta(X)$, essendo $\Delta(X)$ l'insieme di tutte le probabilità $p$ che possiamo considerare su $X$. Dato che $X$ è un insieme finito, per definire una probabilità su $X$ sarà sufficiente assegnare la probabilità $p_i$ ad ogni elemento $x_i$ di $X$. Insomma, una probabilità su $X$ non è altro che una $m$-pla di numeri reali $p = (p_1, \ldots, p_m)$, con la solita condizione che $p_i \ge 0$ per ogni $i$ e $\sum_{i=1}^m p_i =1$. $\Delta(X)$ è l'insieme delle $p$ che soddisfano queste condizioni.
$\hat Y = \Delta(Y)$, come sopra. Userò $q = (q_1, \ldots, q_n)$.

$\hat f$ e $\hat g$ non sono altro che le estensioni bilineari di $f$ e $g$ da $X \times Y$ a $\Delta(X) \times \Delta(Y)$. Vale a dire:

$\hat f$$(p,q) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n p_i q_j f(x_i,y_j)$
$\hat g$$(p,q) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n p_i q_j g(x_i,y_j)$

Esercizio.
Disegnare $\Delta(X)$ nel caso in cui $X$ abbia due elementi e quando ne ha tre.

[Fioravante Patrone]

Vediamo allora che il teorema di Nash si applica alla estensione mista di un gioco finito.

Ricordo l'enunciato, riportato nel post:
https://www.matematicamente.it/forum/te ... 20482.html

Teorema Sia $G=(X,Y,f,g)$ un gioco a due giocatori in forma strategica. Supponiamo che:
- sia $X$ che $Y$ siano sottoinsiemi compatti, convessi e non vuoti di un opportuno spazio euclideo finito-dimensionale
- $f,g$ siano continue
- per ogni $y \in Y$, $x \mapsto f(x,y)$ sia quasi-concava e per ogni $x \in X$, $y \mapsto g(x,y)$ sia quasi-concava
Allora $G$ ha (almeno) un equilibrio di Nash.


Si tratta di provare che $\hat G = (\hat X, \hat Y, \hat f, \hat g)$, introdotto nel post precedente, soddisfa le condizioni del teorema sopra riportato.

Ma $\hat X = \Delta(X)$, per quanto detto è un sottoinsieme di $RR^m$ (spazio euclideo finito-dimensionale). Essendo $\Delta(X)$ l'involucro convesso dei versori di $RR^m$, è evidentemente convesso, inoltre è compatto in quanto sottoinsieme chiuso e limitato di $RR^m$. Che sia non vuoto, deriva dal fatto che $X$ sia non vuoto.
Ovviamente per $\hat Y$ valgono lo stesso tipo di considerazioni.

Le funzioni $\hat f$ e $\hat g$, essendo le estensioni bilineari di $f$ e $g$ da $X \times Y$ a $\Delta(X) \times \Delta(Y)$ sono certamente continue (sono polinomi di secondo grado, come si può vedere dalle formule che vengono qui sotto riportate:

$\hat f$ $(p,q) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n p_i q_j f(x_i,y_j)$
$\hat g$ $(p,q) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n p_i q_j g(x_i,y_j)$

Infine, $\hat f$ è una funzione lineare (quindi concava e pertanto quasi concava) nella variabile $p$, per $q$ fissato. Analogo discorso vale per $\hat g$.

Quindi, l'estensione mista di un gioco finito soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza di un equilibrio.

[Fioravante Patrone]

Quale è una possibile interpretazione per le stategie miste?

E' abbastanza evidente che, in un contesto di ripetizione del gioco possano avere senso dei tentativi di "diversione", di nascondimento della propria strategia, ricorendo all'uso di un po' di aleatorietà per impedire che l'altro giocatore (gli altri giocatori) possa comprendere troppo presto la strategia che uno sta usando.
Non è però questo che ho in mente. Troppo facile. La "domanda difficile" (parafrasando da tutt'altro contesto) sta nel riuscire a dare un senso alle strategie miste nel caso di un gioco giocato una volta sola.


La cosa principale da osservare è che, introducendo le stategie miste, si effettua un percettibile spostamento di natura concettuale. I nostri giocatori, decisori come tutti gli altri, li immaginiamo dediti ad elucubrazioni varie per poter determinare quale sia la stategia da usare. Uno si aspetta che la scelta sia di natura deterministica. In effetti, se si escludono rari casi, spesso costituiti da situazioni in cui non sono coinvolti esiti di particolare rilievo per i decisori coinvolti, affidare la propria scelta al caso sembra un po' una rinuncia ad usare fino in fondo le proprie capacità intellettive.

Quando si parla di stategie mista, si intende dire che la deliberazione consapevole del giocatore riguada l'assegnazione delle probabilità alle stategie che ha a disposizione (che so, gioco T con probabilità 1/3 e B con probabilità 2/3). Ma, poi, il giocatore si affida ad un opportuno meccanismo aleatorio per effettuare la scelta finale (ad esempio, lancia un dado e gioca T se viene 1 o 2, e B altrimenti).

Dietro alla legittimità di questa interpretazione c'è la modellizzazione del giocatore come "decisore di von Neumann - Morgenstern". Ovvero, come decisore ben descritto dalla teoria delle decisioni in condizioni di rischio, non a caso elaborata da von Neumann e Morgenstern ed apparsa nella seconda edizione del loro libro, nel 1947.

[marco vicari]

l'interpretazione può essere che l'estenzine mista del gioco serve a giustificare il teorema di Nash, senza di essa non sempre esiste l'equilibrio... scherzo ovviamente...

Scegliere di giocare una strategia mista può rivelarsi moto utile e non contrasta certo con il tipico decisore razionale... ho letto esempi dove una stragegia mista assicura un payoff migliore di tutte le altre strategie pure, quindi ha senso giocare la mista... confesso che prima di leggere questi esempi trovavo difficile capire perchè un decisore razionale dovesse affidarsi al lancio di un dado...