Triangolo dal perimetro massimo

[elios]

"Siano dati una circonferenza C e un punto P distinto dal centro. Sia PAB un triangolo che, tra tutti quelli che hanno un vertice in P e i rimanenti due su C, abbia perimetro massimo. Dimostrare che le due bisettrici uscenti dai vertici A e B passano per il centro di C"

Questo è il testo del problema. Io ho provato a risolvere questa dimostrazione e, in particolare, sono partita dalla fine, per cercare di capire che tipo di triangolo è. Innanzitutto, se due bisettrici di un triangolo passano per un punto, questo punto è l'incentro e per esso passerà anche la terza bisettrice. In questo caso, il punto in questione è il centro della circonferenza C.
Poichè $r$ ed $s$ (le ho chiamate così) sono le bisettrici in $A$ e in $B$, $hat(BAO)=hat(OAP)$ e $hat(PBO)=hat(OBA)$. Poiché $AO=OB$, in quanto raggi della stessa circonferenza, AOB è isoscele e $hat(OAB)=hat(OBA)$. Ciò implica che $hat(OAB)=hat(OBA)=hat(OBP)=hat(OAP)$. Essendo l'angolo in $hat(A)=hat(BAO)+hat(OAP)$ e l'angolo in $hat(B)=hat(PBO)+hat(OBA)$, allora $hat(BAP)=hat(PBA)$. Cioè, il triangolo ABP è isoscele.
Tutto questo mi porta a dire che il triangolo descritto dal testo del problema, cioè il triangolo le cui bisettrici passano per il centro della circonferenza C..., è un triangolo isoscele, avente per base una corda della circonferenza (escluso il diametro). Ma tale triangolo PAB doveva essere costruito a partire dal perimetro..
Come faccio a dimostrare che il triangolo PAB avente un vertice in P e i rimanenti due sulla circonferenza avente perimetro massimo, è un triangolo isoscele che ha come base una corda della circonferenza? Perché, una volta dimostrato ciò, posso fare la dimostrazione richiesta esattamente all'incontrario di quella che ho fatto finora, sempre che tutto ciò che ho detto finora sia giusto... GRAZIE!

[G.D.]

E la distnza di $P$ dal centro è minore, maggiore o uguale al raggio?

[elios]

Non è specificato. Potrebbe anche essere sulla circonferenza..

[G.D.]

Come faccio a dimostrare che il triangolo PAB avente un vertice in P e i rimanenti due sulla circonferenza avente perimetro massimo, è un triangolo isoscele che ha come base una corda della circonferenza? Perché, una volta dimostrato ciò, posso fare la dimostrazione richiesta esattamente all'incontrario di quella che ho fatto finora, sempre che tutto ciò che ho detto finora sia giusto... GRAZIE!

Che il triangolo sul quale si deve lavorare debba essere isoscele è chiaro ed evidente, ma ciò non è sufficiente per affermare che basta invertire la dimostrazione che hai preliminarmente prodotto, per provare quanto il problema in oggetto richiede di provare.

Mi spiego meglio: tu hai dimostrato che, se un triangolo $\mathcal{T}$ con due vertici su una circonferenza $\mathfrak{\Gamma}$ è tale per cui le bisettrici dei due suoi angoli, aventi i vertici su $\mathfrak{\Gamma}$, passanno per il centro di $\mathfrak{\Gamma}$, allora detto triangolo è isoscele con base il lato adiacente ai predetti due angoli.
Per le regole della logica proposizionale, quanto prima equivale ad affermare che se un triangolo $\mathcal{T}'$ con due vertici su una circonferenza $\mathfrak{\Gamma}'$ non è isoscele, allora le bisettrici dei due suoi angoli, aventi i vertici su $\mathfrak{\Gamma}'$, non passano per il centro della circonferenza.

Questo fa capire che, in ogni caso, si lavora con un triangolo isoscele. Ma detto ciò, non si può provare la richiesta del problema semplicemente invertendo quella tua dimostrazione, perché bisogna andare a pescare il triangolo isoscele di perimetro massimo e provare che per questo si verifica il passaggio delle bisettrici per il centro della circonferenza.

Quanto a trovare questo triangolo, ho le idee un poco confuse: se il triangolo è inscritto nella circonferenza, allora esso non solo è isoscele, ma addirittura è equilatero (si può provare facilmente con un poco di trigonometria e di analisi) e la tesi segue banalmente. Se il punto $P$ ha distanza dal cantro minore o maggiore del raggio, non ho idea di come muovermi.

[elios]

Questo fa capire che, in ogni caso, si lavora con un triangolo isoscele. Ma detto ciò, non si può provare la richiesta del problema semplicemente invertendo quella tua dimostrazione, perché bisogna andare a pescare il triangolo isoscele di perimetro massimo e provare che per questo si verifica il passaggio delle bisettrici per il centro della circonferenza.

Ma una volta che dimostro che il triangolo dal perimetro massimo è isoscele (non sappiamo ancora come), allora di conseguenza le bisettrici che escono dagli angoli alla base passano per il centro, no?

Per quanto riguarda se P appartiene alla circonferenza, il triangolo dal perimetro massimo è sicuramente quello equilatero.
Sto pensando se convenga analizzare il caso in cui P sia interno, e poi quello in cui P sia esterno, oppure analizzare un caso generale.. Non so proprio dove metterci le mani..

[G.D.]

Ma una volta che dimostro che il triangolo dal perimetro massimo è isoscele (non sappiamo ancora come), allora di conseguenza le bisettrici che escono dagli angoli alla base passano per il centro, no?

Tu non hai dimostrato che il triangolo dal perimatro massimo è quello isoscele, ma hai dimostrato che se un triangolo non è isoscele allora le bisettrici non possono incontrarsi nel centro della circonferenza.

Per chiarire le idee: diciamo che
$\mathfrak{A}:= \text{il triangolo ha perimetro massimo}$
$\mathfrak{B}:= \text{il triangolo è isoscele}$
$\mathfrak{C}:= \text{le bisettrici passano per il centro di} \ \ \mathfrak{\Gamma}$

per la consegna del problema, devi provare che $\mathfrak{A} => \mathfrak{C}$.
Hai provato che $\mathfrak{B} => \mathfrak{C}$
Quindi resta da provare che $\mathfrak{A} => \mathfrak{B}$ (affiché si possa dire $(\mathfrak{A}=>\mathfrak{B} \wedge \mathfrak{B}=>\mathfrak{C})=>(\mathfrak{A}=>\mathfrak{C})$)

Come, però, non lo so

[elios]

Sìsì il ragionamento è chiaro. Tutto il resto no

[elios]

Nessuna idea?

[IvanTerr]

Io ho seguito questo ragionamento:
Sia $d$ la distanza del punto $P$ dal centro $C$ della circonferenza data e $r$ il suo raggio; si ottiene l'altezza $h= bar(PC)+r\ sen alpha$. la metà della base è $rcos alpha$. Una volta ottenuta l'altezza e metà della corda di base si può ricavare un lato ($bar(PA)$ o $bar(PB)$) applicando la formula di Pitagora. Si ricava: $sqrt((d+r/2)^2+(rcosalpha)^2)=sqrt(d^2+dr+r^2/4+r^2cos^2alpha)$. Si può osservare che sia $h$ che $bar(MB)$ (cioè la metà della corda che forma la base) dipendono dall'angolo $alpha$, impostando dunque il prodotto $h$ per $bar(MB)$ e derivando applicando il teorema di Rolle, si perviene ai valori di $t_(1,2)=1/2,-1$ che, scartando il valore $-1$ da come risultato $t=1/2$ da cui $alpha=(pi)/3$. Il triangolo che ha il perimetro massimo risulta pertanto il triangolo equilatero inscritto nel cerchio che è anche Isoscele. Confesso che ammiro la vostra perspicacia, il fatto che avevate intuito che si trattasse di un triangolo necessariamente isoscele si scontra con la mia cecità totale su dove mi avrebbe portato il mio ragionamento. Come fate? Un dono naturale? Quali indizi vi hanno guidato? Mi piacerebbe saperlo.

[G.D.]

Io ho seguito questo ragionamento:
Sia $d$ la distanza del punto $P$ dal centro $C$ della circonferenza data e $r$ il suo raggio; si ottiene l'altezza $h= bar(PC)+r\ sen alpha$. la metà della base è $rcos alpha$. Una volta ottenuta l'altezza e metà della corda di base si può ricavare un lato ($bar(PA)$ o $bar(PB)$) applicando la formula di Pitagora. Si ricava: $sqrt((d+r/2)^2+(rcosalpha)^2)=sqrt(d^2+dr+r^2/4+r^2cos^2alpha)$. Si può osservare che sia $h$ che $bar(MB)$ (cioè la metà della corda che forma la base) dipendono dall'angolo $alpha$, impostando dunque il prodotto $h$ per $bar(MB)$ e derivando applicando il teorema di Rolle, si perviene ai valori di $t_(1,2)=1/2,-1$ che, scartando il valore $-1$ da come risultato $t=1/2$ da cui $alpha=(pi)/3$. Il triangolo che ha il perimetro massimo risulta pertanto il triangolo equilatero inscritto nel cerchio che è anche Isoscele. Confesso che ammiro la vostra perspicacia, il fatto che avevate intuito che si trattasse di un triangolo necessariamente isoscele si scontra con la mia cecità totale su dove mi avrebbe portato il mio ragionamento. Come fate? Un dono naturale? Quali indizi vi hanno guidato? Mi piacerebbe saperlo.

Non mi dire niente, ma non ci ho capito molto. Inoltre non credo che questa sia la soluzione completa: bisogna provare che ogni trinagolo di perimetro massimo ha le bisettrici di una certa coppia di angoli che passano per il centro. Tu così hai provato che l'asserto è valido per il triangolo di perimetro massimo inscritto.