Ultrafiltri

[Martino]

Ciao!

Vi propongo alcuni risultati sugli ultrafiltri con alcune interpretazioni algebriche (che spero siano abbastanza eloquenti sull'applicabilità della geometria algebrica moderna, che nasce col concetto di spettro di un anello). Alcune fonti: uno, due, tre, tre e mezzo e ultrafiltri. Ricordo anche quattro. Penso che aggiungerò cose, e mi scuso per eventuali imprecisioni. Vi propongo di dimostrare i lemmi e le proposizioni che seguono: è molto divertente.

Dato un insieme \( \displaystyle X \) , un filtro su \( \displaystyle X \) è un sottoinsieme \( \displaystyle \mathcal{F} \) di \( \displaystyle P(X) \) (cioè un insieme di sottoinsiemi di \( \displaystyle X \) ) con le seguenti tre proprietà:

1. \( \displaystyle \emptyset \not \in \mathcal{F} \) .
2. Se \( \displaystyle A \in \mathcal{F} \) e \( \displaystyle B \subseteq X \) è tale che \( \displaystyle A \subseteq B \) allora \( \displaystyle B \in \mathcal{F} \) .
3. Se \( \displaystyle A,B \in \mathcal{F} \) allora \( \displaystyle A \cap B \in \mathcal{F} \) .

Il filtro \( \displaystyle \mathcal{F} \) si dice ultrafiltro se soddisfa in aggiunta la seguente proprietà:

U. Se \( \displaystyle E \subseteq X \) e \( \displaystyle E \not \in \mathcal{F} \) allora \( \displaystyle X-E \in \mathcal{F} \) .

Chiamiamo "filtro massimale" un filtro \( \displaystyle \mathcal{F} \) con la proprietà che ogni sottoinsieme di \( \displaystyle P(X) \) che contiene \( \displaystyle \mathcal{F} \) propriamente non è un filtro.

Lemma 1. Sia \( \displaystyle T \) un sottoinsieme di \( \displaystyle P(X) \) tale che \( \displaystyle A \cap B \neq \emptyset \) per ogni \( \displaystyle A,B \in T \) . Allora la famiglia delle intersezioni finite dei sovrainsiemi degli elementi di \( \displaystyle T \) è un filtro su \( \displaystyle X \) contenente \( \displaystyle T \) .

Lemma 2. Un filtro \( \displaystyle \mathcal{F} \) è un filtro massimale se e solo se è un ultrafiltro.

Esempio di ultrafiltro. Dato \( \displaystyle x \in X \) , l'insieme dei sottoinsiemi di \( \displaystyle X \) contenenti \( \displaystyle x \) è un ultrafltro su \( \displaystyle X \) . Si chiama ultrafiltro principale generato da \( \displaystyle x \) . Se \( \displaystyle X \) è un insieme finito allora ogni ultrafiltro su \( \displaystyle X \) è principale (es.).

Lemma 3. Sia \( \displaystyle \mathcal{U} \) un ultrafiltro su \( \displaystyle X \) , e prendiamo \( \displaystyle A_1,...,A_n \subseteq X \) tali che \( \displaystyle A_1 \cup ... \cup A_n \in \mathcal{U} \) . Allora esiste \( \displaystyle i \in \{1,...,n\} \) tale che \( \displaystyle A_i \in \mathcal{U} \) .

Propongo una visione algebrica del lemma 3. Consideriamo l'insieme \( \displaystyle P(X) \) . Esso si può pensare come l'insieme \( \displaystyle \mathbb{Z}_2^X \) delle funzioni \( \displaystyle X \to \mathbb{Z}_2 \) , dove \( \displaystyle \mathbb{Z}_2 \) denota il campo con due elementi. L'identificazione è la seguente: al sottoinsieme \( \displaystyle A \) di \( \displaystyle X \) corrisponde la funzione \( \displaystyle f_A:X \to \mathbb{Z}_2 \) che vale \( \displaystyle 0 \) sugli elementi di \( \displaystyle A \) e \( \displaystyle 1 \) altrove. In questo modo \( \displaystyle P(X) \) riceve la struttura di anello (booleano), quella (naturale) in cui le operazioni sono per componenti: \( \displaystyle (a_x)_{x \in X} + (b_x)_{x \in X} := (a_x+b_x)_{x \in X} \) e \( \displaystyle (a_x)_{x \in X} \cdot (b_x)_{x \in X} := (a_x \cdot b_x)_{x \in X} \) . In questo modo è chiaro che il prodotto di due sottoinsiemi è la loro unione. Invece per l'intersezione vale la seguente uguaglianza: \( \displaystyle A \cap B = A \cdot B+A+B \) .

Lemma 4. Un filtro su \( \displaystyle X \) è un ideale proprio di \( \displaystyle P(X) \) . Un ultrafiltro è un ideale massimale.

Ora il lemma 3 segue immediatamente dal lemma 4 ricordando che gli ideali massimali sono primi.

Ricordo che l'esistenza di un filtro massimale contenente un dato filtro è deducibile dall'assioma della scelta. Senza questo assioma è difficile (e forse impossibile, non so) trovare ultrafiltri non principali.

Supponiamo ora che \( \displaystyle X \) sia uno spazio topologico. Dati un filtro \( \displaystyle \mathcal{F} \) su \( \displaystyle X \) e un elemento \( \displaystyle x \in X \) , diciamo che \( \displaystyle x \) è un limite di \( \displaystyle \mathcal{F} \) se ogni intorno di \( \displaystyle x \) appartiene a \( \displaystyle \mathcal{F} \) .

Proposizione 1. \( \displaystyle X \) è di Hausdorff se e solo se ogni ultrafiltro su \( \displaystyle X \) ha al più un limite. \( \displaystyle X \) è compatto se e solo se ogni ultrafiltro su \( \displaystyle X \) ha almeno un limite.

Quindi uno spazio è contemporaneamente compatto e di Hausdorff se e solo se ogni ultrafiltro su tale spazio ha esattamente un limite. A questo proposito ricordo quattro.

Dotiamo l'insieme \( \displaystyle X \) della topologia discreta. Chiamiamo \( \displaystyle \mathcal{U}(X) \) l'insieme degli ultrafiltri su \( \displaystyle X \) . Dato \( \displaystyle A \subseteq X \) , definiamo \( \displaystyle U_A := \{U \in \mathcal{U}(X)\ |\ A \in U\} \) . Allora dati \( \displaystyle A,B \subseteq X \) si ha \( \displaystyle U_A \cap U_B = U_{A \cap B} \) . In particolare la famiglia \( \displaystyle \{U_A\ |\ A \subseteq X\} \) è la base di una topologia su \( \displaystyle \mathcal{U}(X) \) , detta topologia di Stone.

Proposizione 2. \( \displaystyle \mathcal{U}(X) \) con la topologia di Stone è compatto. Si chiama compattificazione di Stone–Cech di \( \displaystyle X \) .

Segue un'altra interpretazione in chiave algebrica per chi conosce la topologia di Zariski sugli spettri.

Lemma 5. L'anello \( \displaystyle P(X) \) ha dimensione di Krull zero, cioè ogni suo ideale primo è massimale. [Suggerimento: usare il lemma 4].

Ne segue che \( \displaystyle \mathcal{U}(X) \) corrisponde in modo canonico a \( \displaystyle \text{Spec}(P(X)) \) (l'insieme degli ideali primi di \( \displaystyle P(X) \) ).

Proposizione 3. Se dotiamo \( \displaystyle \mathcal{U}(X) \) della topologia di Stone relativa alla topologia discreta su \( \displaystyle X \) e \( \displaystyle \text{Spec}(P(X)) \) della topologia di Zariski, tali due spazi topologici sono omeomorfi.

E siccome gli spettri sono compatti, la proposizione 3 implica la proposizione 2.

Lemma 6. Un ultrafiltro su un insieme infinito \( \displaystyle X \) non è principale se e solo se contiene tutti i sottoinsiemi cofiniti di \( \displaystyle X \) .

Domanda 1. Prendiamo un insieme \( \displaystyle X \) che ammetta un ultrafiltro non principale. Si può concludere che gli ultrafiltri non principali su \( \displaystyle X \) sono infiniti?

Ricordo che uno spazio topologico si dice totalmente disconnesso se i suoi unici sottoinsiemi connessi sono i punti (cioe' i sottoinsiemi con un solo elemento). Uno spazio topologico si dice spazio di Stone se e' compatto, di Hausdorff e totalmente disconnesso.

Ecco una caratterizzazione di tipo categoriale degli spazi di Stone.

Teorema 1. Uno spazio topologico e' uno spazio di Stone se e solo se e' un limite inverso (nella categoria degli spazi topologici) di spazi finiti discreti.

Le compattificazioni di Stone-Cech degli spazi discreti sono spazi di Stone:

Teorema 2. Sia \( \displaystyle X \) un insieme dotato della topologia discreta. Allora la compattificazione di Stone-Cech di \( \displaystyle X \) (cioe' l'insieme \( \displaystyle \mathcal{U}(X) \) degli ultrafiltri su \( \displaystyle X \) dotato della topologia di Stone) e' uno spazio di Stone.

La compattificazione di Stone-Cech di uno spazio discreto \( \displaystyle X \) e' il limite inverso degli spettri dei sottoanelli finiti di \( \displaystyle P(X) \) , dove se \( \displaystyle A \subseteq B \) sono due sottoanelli finiti di \( \displaystyle P(X) \) il morfismo strutturale e' quello naturale \( \displaystyle \text{Spec}(B) \to \text{Spec}(A) \) .

Secondo me questo si puo' dire anche meglio, ci pensero'.

[maurer]

Mi permetto di aggiungere qualche dettaglio (sebbene non strettamente necessario) per dimostrare il Lemma 1.

Definizione. Sia \( \displaystyle X \) un insieme non vuoto e sia \( \displaystyle T \) un sottoinsieme di \( \displaystyle P(X) \) . Diciamo che \( \displaystyle T \) gode della Proprietà dell'Intersezione Finita (PIF) se per ogni coppia \( \displaystyle A,B \in T \) si ha \( \displaystyle A \cap B \ne \emptyset \) .

Sia \( \displaystyle X \) un insieme non vuoto e sia \( \displaystyle T \) un sottoinsieme di \( \displaystyle P(X) \) . Denoto con \( \displaystyle T^* \) l'insieme ottenuto da \( \displaystyle T \) aggiungendo a \( \displaystyle T \) tutte le intersezioni finite dei suoi elementi; denoto con \( \displaystyle \overline{T} \) l'insieme ottenuto aggiungendo a \( \displaystyle T \) tutti i sovrainsiemi dei suoi elementi.

Proposizione. \( \displaystyle \overline{T^*} \) è un filtro se e solo se gode della PIF. Inoltre è il minimo filtro che contiene \( \displaystyle T \) .
Dimostrazione. Infatti, se \( \displaystyle \overline{T^*} \) è un filtro allora visto che \( \displaystyle \emptyset \not \in \overline{T^*} \) , segue banalmente che per ogni coppia \( \displaystyle A,B \in \overline{T^*} \) non può essere \( \displaystyle A \cap B = \emptyset \) . Siccome \( \displaystyle T \subseteq \overline{T^*} \) , otteniamo la prima implicazione.
Viceversa, proviamo che se \( \displaystyle T \) soddisfa la suddetta proprietà, allora \( \displaystyle \overline{T^*} \) è un filtro. Innanzi tutto, se \( \displaystyle A,B \in \overline{T^*} \) allora \( \displaystyle A \supseteq A_1 \cap \ldots \cap A_n \) con \( \displaystyle A_k \in T \) e \( \displaystyle B \supseteq B_1 \cap \ldots \cap B_m \) con \( \displaystyle B_k \in T \) . Ora questo implica \( \displaystyle A \cap B \supseteq A_1 \cap \ldots B_m \in T^* \) , visto che l'ultima intersezione è ancora finita. Quindi \( \displaystyle A \cap B \in \overline{T^*} \) . Se poi \( \displaystyle A \in \overline{T^*} \) e \( \displaystyle A \subseteq B \) , allora, come prima deve essere \( \displaystyle A \supseteq A_1 \cap \ldots \cap A_n \) . Quindi segue, per definizione, che \( \displaystyle B \in \overline{T^*} \) .
Dobbiamo quindi solo provare che \( \displaystyle \emptyset \not \in \overline{T^*} \) . Se per assurdo fosse \( \displaystyle \emptyset \in \overline{T^*} \) , allora seguirebbe che \( \displaystyle \emptyset \supseteq T_1 \cap \ldots \cap T_r \) , con \( \displaystyle T_k \in T \) , il che è assurdo perché si vede, per induzione elementare, che in virtù dell'ipotesi l'intersezione di un numero finito di elementi di \( \displaystyle T \) non può dare l'insieme vuoto.
Infine, se un filtro \( \displaystyle \mathcal{F} \) contiene \( \displaystyle T \) allora deve contenere anche \( \displaystyle T^* \) e quindi \( \displaystyle \overline{T^*} \) . \( \displaystyle \square \)

Osserviamo ora che se \( \displaystyle \mathcal{F} \) è un filtro allora \( \displaystyle \mathcal{F}^* = \overline{\mathcal{F}} = \mathcal{F} \) . Pertanto abbiamo la seguente proposizione:

Proposizione. Sia \( \displaystyle X \) un insieme e sia \( \displaystyle T \subseteq P(X) \) . Allora se \( \displaystyle T \) soddisfa la Proprietà dell'Intersezione Finita \( \displaystyle \overline{T^*} = \overline{T}^* \) .
Dimostrazione.
Infatti, se \( \displaystyle T \) gode della PIF, per la proposizione precedente \( \displaystyle \overline{T^*} \) è un filtro. Allora, da \( \displaystyle \overline{T^*} \supseteq T \) otteniamo \( \displaystyle \overline{T^*} \supseteq \overline{T}^* \) . Ora, se \( \displaystyle A \in \overline{T^*} \) allora \( \displaystyle A \supseteq A_1 \cap \ldots \cap A_n \) . Ma allora \( \displaystyle (A\cup A_1) \cap (A \cup A_2) \cap \ldots \cap (A \cup A_n) \in \overline{T}^* \) e
\( \displaystyle A = A \cup \bigcap_{k = 1}^n A_k = \bigcap_{k = 1}^n (A\cup A_k) \)
da cui segue \( \displaystyle \overline{T^*} \subseteq \overline{T}^* \) . \( \displaystyle \square \)

A questo punto il Lemma 1 è ovvio.

[maurer]

Lemma 2. Un filtro \( \displaystyle \mathcal{F} \) è massimale se e solo se è un ultrafiltro.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Supponiamo che \( \displaystyle \mathcal{F} \) sia massimale e sia \( \displaystyle A \in P(X) \) un insieme qualsiasi. Supponiamo \( \displaystyle A \not \in \mathcal{F} \) ; consideriamo l'insieme \( \displaystyle S := \mathcal{F} \cup \{A\} \) . Se questo insieme godesse della PIF, allora esisterebbe un filtro \( \displaystyle \mathcal{F}' \) che lo contiene. Ma allora si avrebbe \( \displaystyle \mathcal{F} \subsetneq \mathcal{F} \) e questo è assurdo per la massimalità. Pertanto segue che l'insieme \( \displaystyle S \) non gode della PIF; visto che di certo \( \displaystyle \mathcal{F} \) deve godere della PIF, allora otteniamo che esiste \( \displaystyle B \in \mathcal{F} \) tale che \( \displaystyle A \cap B = \emptyset \) . Ma allora \( \displaystyle B \subseteq X - A \) e quindi \( \displaystyle X - A \in \mathcal{F} \) . Pertanto, \( \displaystyle \mathcal{F} \) è un ultrafiltro.

Viceversa, supponiamo che \( \displaystyle \mathcal{F} \) sia un ultrafiltro e sia per assurdo \( \displaystyle \mathcal{F} \subsetneq \mathcal{F}' \) un'inclusione propria di filtri. Allora esiste \( \displaystyle A \in \mathcal{F}' - \mathcal{F} \) , da cui otterremmo \( \displaystyle X - A \in \mathcal{F} \) ; questo però implica a sua volta \( \displaystyle X - A \in \mathcal{F}' \) e quindi \( \displaystyle \emptyset = A \cap (X - A) \in \mathcal{F}' \) . Assurdo. \( \displaystyle \square \)

[Martino]

Grande, vedo che l'argomento ti piace

Ah, mi è venuto in mente anche questo (ultrafiltri, dittatori e dei).

Inoltre avrei una domanda. Prendiamo un insieme \( \displaystyle X \) che ammetta un ultrafiltro non principale. Si può concludere che gli ultrafiltri non principali su \( \displaystyle X \) sono infiniti?

E mi è venuto in mente un altro fatterello:

Lemma 6. Un ultrafiltro su un insieme infinito \( \displaystyle X \) non è principale se e solo se contiene tutti i sottoinsiemi cofiniti di \( \displaystyle X \) .

Li inserisco.

[maurer]

Grande, vedo che l'argomento ti piace

Sì, un sacco! Ho studiato un po' per conto mio e ne abbiamo parlato un po' nel corso di Logica. Mi dispiace non avere il tempo materiale di approfondire ancora (per adesso...).

Aggiungo ancora un po' di nomenclatura per dimostrare il Lemma 3.

Definizione. Sia \( \displaystyle \mathcal{F} \) un filtro su \( \displaystyle X \) . Diciamo \( \displaystyle \mathcal{F} \) è primo se \( \displaystyle A \cup B \Rightarrow A \in \mathcal{F} \) oppure \( \displaystyle B \in \mathcal{F} \) .

Proposizione. Sia \( \displaystyle \mathcal{F} \) un filtro su \( \displaystyle X \) . Allora \( \displaystyle \mathcal{F} \) è primo se e solo se è massimale.
Dimostrazione.
Supponiamo che \( \displaystyle \mathcal{F} \) sia massimale e siano \( \displaystyle A, B \subseteq X \) . Mostrerò che se \( \displaystyle A, B \not \in \mathcal{F} \) allora \( \displaystyle A \cup B \not \in \mathcal{F} \) . Infatti, siccome \( \displaystyle A \not \in \mathcal{F} \) allora \( \displaystyle \mathcal{F} \cup \{A\} \) non può godere della PIF, altrimenti esisterebbe un filtro che contiene propriamente \( \displaystyle \mathcal{F} \) (precisamente il filtro generato da \( \displaystyle \mathcal{F} \) e \( \displaystyle A \) , il quale esiste in base al Lemma 1). Pertanto, siccome \( \displaystyle \mathcal{F} \) gode della PIF, deve esistere un \( \displaystyle C \in \mathcal{F} \) tale che \( \displaystyle A \cap C = \emptyset \) . Analogamente, si vede che \( \displaystyle B \not \in \mathcal{F} \) implica l'esistenza di \( \displaystyle D \in \mathcal{F} \) tale che \( \displaystyle B \cap D = \emptyset \) . Ma allora, sfruttando la distributività delle operazioni: \( \displaystyle (A \cup B) \cap (C \cap D) = \left[A \cap (C \cap D) \right] \cup \left[B \cap (C \cap D)\right] = \emptyset \) . Siccome \( \displaystyle C \cap D \in \mathcal{F} \) , allora non può sicuramente essere \( \displaystyle A \cup B \in \mathcal{F} \) .
Supponiamo ora che \( \displaystyle \mathcal{F} \) sia primo. Supponiamo per assurdo che ci sia un'inclusione propria di filtri \( \displaystyle \mathcal{F} \subseteq \mathcal{F}' \) . Allora esiste \( \displaystyle A \in \mathcal{F}' - \mathcal{F} \) ; d'altra parte \( \displaystyle A \cup (X - A) = X \in \mathcal{F} \) ; siccome abbiamo scelto \( \displaystyle A \) in modo che \( \displaystyle A \not \in \mathcal{F} \) , segue che \( \displaystyle X - A \in \mathcal{F} \) e, quindi \( \displaystyle X - A \in \mathcal{F}' \) . Assurdo perché seguirebbe \( \displaystyle \emptyset = A \cap (X - A) \in \mathcal{F}' \) . \( \displaystyle \square \)

Nota. Ho evidenziato il punto in cui ho impiegato la distributività delle operazioni. Questo perché si può parlare di filtri e ultrafiltri in un contesto ben più generale dell'insieme delle parti di un insieme: si tratta di nozioni definite su un qualsiasi reticolo. Tuttavia, in u reticolo generico non è garantita la validità della distributività delle operazioni e pertanto la precedente dimostrazione non è valida. Si può anche dimostrare che un reticolo è distributivo se e solo se è isomorfo ad un sottoreticolo del reticolo delle parti di un qualche insieme.

Prima di procedere osservo che, combinando il Lemma 2 con la precedente proposizione, abbiamo il seguente

Teorema. Sia \( \displaystyle \mathcal{F} \) un filtro sull'insieme \( \displaystyle X \) . Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1) \( \displaystyle \mathcal{F} \) è massimale;
2) \( \displaystyle \mathcal{F} \) è primo;
3) \( \displaystyle \mathcal{F} \) è un ultrafiltro.

Lemma 3. Sia \( \displaystyle \mathcal{U} \) un ultrafiltro su \( \displaystyle X \) e supponiamo che \( \displaystyle A_1, A_2, \ldots A_n \subseteq X \) siano tali che \( \displaystyle A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n \in \mathcal{U} \) . Allora esiste \( \displaystyle i \in \{1, \ldots, n\} \) tale che \( \displaystyle A_i \in \mathcal{U} \) .
Dimostrazione.
Per induzione su \( \displaystyle n \) . Se \( \displaystyle n = 2 \) , allora l'affermazione è ovvia perché \( \displaystyle \mathcal{U} \) , in quanto massimale, è anche primo.
D'altra parte se supponiamo vera la tesi per \( \displaystyle n - 1 \) allora \( \displaystyle A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n = \left(\bigcup_{i = 1}^{n-1} A_i \right) \cup A_n \in \mathcal{U} \) e quindi segue \( \displaystyle A_n \in \mathcal{U} \) oppure \( \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n-1} A_i \in \mathcal{U} \) . Nel primo caso abbiamo concluso, nel secondo concludiamo per l'ipotesi induttiva.

Passo direttamente al Lemma 6 tralasciando per un attimo gli altri risultati.

Lemma 6. Un ultrafiltro su un insieme infinito \( \displaystyle X \) non è principale se e solo se contiene tutti i sottoinsiemi cofiniti di \( \displaystyle X \) .
Dimostrazione.
Supponiamo che \( \displaystyle \mathcal{U} \) sia un ultrafiltro su un insieme infinito \( \displaystyle X \) . Supponiamo che contenga un insieme finito, sia esso \( \displaystyle A = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) . Allora \( \displaystyle \bigcup_{i = 1}^n \{a_i\} \in \mathcal{U} \) , da cui segue, per il Lemma 3, che esiste \( \displaystyle i \in \{1,2,\ldots,n\} \) tale che \( \displaystyle a_i \in \mathcal{U} \) . Questo implica che \( \displaystyle \mathcal{U} = \overline{\{a_i\}} \) . Infatti, se esistesse un elemento \( \displaystyle B \in \mathcal{U} \) tale che \( \displaystyle a_i \not \in B \) allora \( \displaystyle \emptyset = \{a_i\} \cap B \in \mathcal{U} \) e questo è assurdo. Pertanto \( \displaystyle \mathcal{U} \) è principale.
Viceversa, supponiamo che \( \displaystyle \mathcal{U} \) non contenga nessun insieme finito e supponiamo per assurdo che sia principale, ossia che esista \( \displaystyle A \in \mathcal{U} \) tale che \( \displaystyle \mathcal{U} = \overline{A} \) (scrivo \( \displaystyle \overline{A} \) invece di \( \displaystyle \overline{\{A\}} \) , che sarebbe la scrittura corretta, per semplicità di notazione). Siccome necessariamente \( \displaystyle A \ne \emptyset \) allora posso scegliere \( \displaystyle a \in A \) ; per l'ipotesi posso concludere che \( \displaystyle X - \{a\} \in \mathcal{U} \) e quindi \( \displaystyle A - \{a\} = A \cap (X - \{a\}) \in \mathcal{U} \) . Questo è però assurdo in quanto \( \displaystyle A - \{a\} \) è contenuto propriamente in \( \displaystyle A \) . \( \displaystyle \square \)

Nota. L'insieme di tutti i sottoinsiemi cofiniti di \( \displaystyle X \) è un filtro lui stesso, che viene tradizionalmente chiamato filtro di Fréchet.

[Martino]

Viceversa, supponiamo che \( \displaystyle \mathcal{U} \) non contenga nessun insieme finito e supponiamo per assurdo che sia principale, ossia che esista \( \displaystyle A \in \mathcal{U} \) tale che \( \displaystyle \mathcal{U} = \overline{A} \) (scrivo \( \displaystyle \overline{A} \) invece di \( \displaystyle \overline{\{A\}} \) , che sarebbe la scrittura corretta, per semplicità di notazione). Siccome necessariamente \( \displaystyle A \ne \emptyset \) allora posso scegliere \( \displaystyle a \in A \) ; per l'ipotesi posso concludere che \( \displaystyle X - \{a\} \in \mathcal{U} \) e quindi \( \displaystyle A - \{a\} = A \cap (X - \{a\}) \in \mathcal{U} \) . Questo è però assurdo in quanto \( \displaystyle A - \{a\} \) è contenuto propriamente in \( \displaystyle A \) . \( \displaystyle \square \) .

Strano questo: principale vuol dire che consiste dei sottoinsiemi che contengono un dato \( \displaystyle x \in X \) , in particolare contiene \( \displaystyle \{x\} \) che e' finito. Non capisco bene cosa hai fatto tu. Forse per te "filtro principale" significa qualcosa di diverso da quello che ho scritto?

[maurer]

In effetti, per me principale significa: consiste dei sottoinsiemi che contengono un dato insieme \( \displaystyle A \) , qualsiasi (finito o infinito), ovvero coincida, con le notazioni che ho introdotto nei post precedenti, con \( \displaystyle \overline{A} \) .

[maurer]

Lasciando un attimo in sospeso la questione della definizione di principale, vengo alla domanda. Osservo innanzi tutto che dalla dimostrazione che ho dato del Lemma 6 si evince che se \( \displaystyle X \) ammette un ultrafiltro non principale, allora necessariamente \( \displaystyle X \) è infinito. Affermo allora che:

1) se \( \displaystyle X \) è infinito, ammette sempre un ultrafiltro non principale;
2) se \( \displaystyle X \) è infinito, ammette sempre infiniti ultrafiltri non principali.

Chiaramente per dimostrare 1), basta osservare che il Lemma di Zorn implica che esiste un ultrafiltro che contiene il filtro di Fréchet; il Lemma 6 assicura poi che questo filtro sia non principale.

Osservo ora che

1) siccome \( \displaystyle X \) è infinito allora contiene un sottoinsieme numerabile;
2) se \( \displaystyle Y \subseteq X \) è un sottoinsieme e \( \displaystyle \mathcal{F} \) è un ultrafiltro su \( \displaystyle Y \) , allora \( \displaystyle \mathcal{F} \) può essere esteso ad un ultrafiltro su \( \displaystyle X \) (sempre per il Lemma di Zorn);
3) se \( \displaystyle Y \subseteq X \) è un sottoinsieme e \( \displaystyle \mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2 \) sono ultrafiltri distinti su \( \displaystyle Y \) , allora è possibile estenderli a due ultrafiltri distinti su \( \displaystyle X \) . Infatti, dire che i due ultrafiltri sono distinti su \( \displaystyle Y \) , equivale a dire che esiste \( \displaystyle A \subseteq Y \) tale che \( \displaystyle A \in \mathcal{F}_1 \) e \( \displaystyle Y - A \in \mathcal{F}_2 \) ; se esistesse \( \displaystyle \mathcal{U} \) che sia estensione di entrambi \( \displaystyle \mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2 \) a ultrafiltri su \( \displaystyle X \) , allora avremmo \( \displaystyle A, Y-A \in \mathcal{U} \) il che è assurdo in quanto la loro intersezione dà l'insieme vuoto.

Possiamo quindi restringerci a dimostrare la tesi per un insieme numerabile. Siccome l'unione (disgiunta) numerabile di insiemi numerabili è ancora numerabile, concludiamo che esiste almeno una partizione numerabile di \( \displaystyle \mathbb{N} \) in cui ogni insieme contiene infiniti elementi; sia \( \displaystyle S = \{S_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) una partizione di \( \displaystyle \mathbb{N} \) con tale proprietà. Denoto qui e nel seguito con \( \displaystyle \mathcal{F} \) il filtro di Fréchet. Siccome per ogni \( \displaystyle k \in \mathbb{N} \) l'insieme \( \displaystyle S_k \) contiene infiniti elementi allora \( \displaystyle T_k = \mathcal{F} \cup \{S_k\} \) gode della PIF e quindi è possibile estenderlo ad un ultrafiltro, che denoto \( \displaystyle \mathcal{U}_k \) .
Ora se \( \displaystyle \mathcal{U}_k = \mathcal{U}_h \) necessariamente \( \displaystyle h = k \) ; infatti se fosse \( \displaystyle h \ne k \) seguirebbe che \( \displaystyle S_k, S_h \in \mathcal{U}_k \) , il che è assurdo perché \( \displaystyle S_k \cap S_h = \emptyset \) . Pertanto ho ottenuto una famiglia numerabile di ultrafiltri. Le precedenti osservazioni permettono di concludere.

[Martino]

In effetti, per me principale significa: consiste dei sottoinsiemi che contengono un dato insieme \( \displaystyle A \) , qualsiasi (finito o infinito), ovvero coincida, con le notazioni che ho introdotto nei post precedenti, con \( \displaystyle \overline{A} \) .

Ma in questo contesto le nostre definizioni sono equivalenti: se \( \displaystyle \mathcal{U}=\bar{A} \) e' un ultrafiltro principale nel tuo senso, con \( \displaystyle |A|>1 \) allora dato \( \displaystyle a \in A \) si ha \( \displaystyle A=\{a\} \cup (A-\{a\}) \) e quindi uno tra \( \displaystyle \{a\} \) e \( \displaystyle A-\{a\} \) deve appartenere a \( \displaystyle \mathcal{U} \) , assurdo.

[Martino]

Wow grande! Ora posso finalmente argomentare a favore di una congettura che avevo formulato l'anno scorso: se esiste un dio allora l'insieme degli dei e' non numerabile. Definire dio come un ultrafiltro non principale sul mondo mi sembra d'uopo. Quindi per ora grazie a te ho ottenuto che se esiste un dio allora esistono infiniti dei. Mitico.

PS. Non sono pazzo.