Un anello A è un corpo se e solo se ha solo ideali banali?

[bestiedda2]

buongiorno a tutti.

Partiamo dal seguente teorema:

TEOREMA: un anello commutativo A è un campo se e solo se non ha ideali non banali.
DIMOSTRAZIONE:
1) se A è un campo, allora è un corpo; sia I un ideale di A: se I è l'ideale nullo allora è banale, in caso contrario essendo A un corpo, esiste un elemento \(\displaystyle x \in I \) invertibile: allora per le proprietà degli ideali \(\displaystyle 1 \in I \) e dunque \(\displaystyle I=A \) : ne consegue che A non ha ideali non banali
2) se A non ha ideali non banali, consideriamo un elemento \(\displaystyle x \in A \) non nullo: sia\(\displaystyle (x) \) l'ideale (bilatero) principale generato da \(\displaystyle x \): \(\displaystyle (x) \) non può essere l'ideale nullo in quanto contiene almeno \(\displaystyle x \); allora \(\displaystyle (x) \) coincide con l'anello stesso, ovvero esiste un elemento \(\displaystyle x' \in A \) tale che \(\displaystyle xx'=1 \), ovvero \(\displaystyle x \) è invertibile e dunque A è un corpo: per la commutatività A è dunque un campo.

Osservo che nel punto 1 è sufficiente che A sia un corpo (non è necessaria la commutatività) per far vedere che non ha ideali non banali.

Dunque: A corpo \(\displaystyle \Rightarrow \) A non ha ideali non banali.

Invece, nel punto 2 si è fatto uso tacitamente della commutatività dell'anello quando si è detto che l'ideale \(\displaystyle (x) \) era bilatero (in generale se l'anello non è commutativo \(\displaystyle (x) \) può rappresentare due ideali, sinistro o destro, che in generale non coincidono).

Volevo sapere se è vero che: A non ha ideali non banali \(\displaystyle \Rightarrow \) A corpo ?

Secondo me non è vero. Mi aiutate a trovare un controesempio?

Grazie a tutti

[bestiedda2]

non mi aiuta nessuno?

[Martino]

Volevo sapere se è vero che: A non ha ideali non banali \(\displaystyle \Rightarrow \) A corpo ?

Ti riporto un passaggio delle note che ho preso a un corso di anelli e moduli di Alberto Facchini che dovrebbe rispondere alla tua domanda (se l'ho capita bene):

[bestiedda2]

\(\displaystyle M_{uv} \) sarebbe l'entrata nella riga u e colonna v, giusto? Si, l'enunciato risponde perfettamente alla mia domanda, ora mi leggo bene la dimostrazione