Un prestito all'anno da due banche diverse

[OriginalBBB]

Un artigiano abita in un piccolo paese dove vi sono due banche A e B; la prima presta denaro con tasso annuo del 12%; la seconda del 8%. L'artigiano ottiene il 1/1/2000 un prestito (non rinnovabile) di 1000 euro dalla banca A. Al 1/1/2001 deve restituire 1120 euro, ha messo da parte 100 euro, e si reca nella banca B a chiedere 1020 euro per coprire la differenza. Al 1/1/02, ha messo da parte altri 100 euro, e chiede in prestito la parte rimanente alla banca A; e così via: ogni anno l'artigiano, per rimborsare la differenza fra il prestito precedente e i 100 euro che ha messo da parte, chiede un prestito alla banca concorrente.
Cosa succede ai debiti dell'artigiano con il passare degli anni? Si ripetano i calcoli precedenti, ma supponendo che il 1/1/2000 l'artigiano si fosse recato presso la banca B (e poi alla A, e poi alla B, e così via).

Ho imbastito tutta la trafila di moltiplicazioni e sottrazioni... ma sono incapace di operare un raccoglimento efficace che permetta di arrivare ad un'espressione che dia immediatamente il valore dopo tot anni , o quanto meno ad una descrizione sintetica del fenomeno.

[@melia]

Puoi descrivere il fenomeno in forma ricorsiva:
$p_0=1000$
$p_1=p_0*1,12-100=1020$
$p_2=p_1*1,08-100=1001,6$
....
Già dal fatto che $p_2>p_0$ puoi capire che l'artigiano non estinguerà mai il suo debito che è destinato a crescere, anche solo di qualche euro all'anno, almeno all'inizio.

Se il prestito fosse stato chiesto per prima alla banca B il debito sarebbe stato destinato ad estinguersi, anche se con tempi molto lunghi.

[OriginalBBB]

Sono arrivato anch'io a queste conclusioni, ma non ero certo che una presentazione dei risultati simile fosse sufficiente alle richieste del problema. E' possibile descrivere tale successione in modo non ricorsivo? Sarebbe tremendamente complicato o semplicemente impossibile?

[Quinzio]

Vediamo... intanto ogni 2 anni il ciclo si ripete per cui ragioniamo ogni biennio.
Se x è la somma presa inprestito abbiamo dopo 2 anni
$[(x*1,12-100)*1.08-100]=x*1.2096-208$
Chiamiamo i l'interesse del biennio $i=1,2096$ e R quella somma accantonata $R=208$
Ad es. dopo 3 bienni abbiamo
$(((x*i -R)*i - R) * i -R)$

Dopo k bienni
$ x*i^k -\sum_{n=0}^k R*i^n$

Il secondo termine è una serie geometrica, che ha anche la sua forma chiusa. Direi che funziona così.

[Quinzio]

Già dal fatto che $p_2>p_0$ puoi capire che l'artigiano non estinguerà mai il suo debito che è destinato a crescere, anche solo di qualche euro all'anno, almeno all'inizio.

Bisognerebbe spiegarlo a Tremonti.....

[Petricci]

Vediamo... intanto ogni 2 anni il ciclo si ripete per cui ragioniamo ogni biennio.
Se x è la somma presa inprestito abbiamo dopo 2 anni
$[(x*1,12-100)*1.08-100]=x*1.2096-208$
Chiamiamo i l'interesse del biennio $i=1,2096$ e R quella somma accantonata $R=208$
Ad es. dopo 3 bienni abbiamo
$(((x*i -R)*i - R) * i -R)$

Dopo k bienni
$ x*i^k -\sum_{n=0}^k R*i^n$

Il secondo termine è una serie geometrica, che ha anche la sua forma chiusa. Direi che funziona così.

Scusate se riesumo questo post, ma non mi torna la formula proposta da quinzio, non dovrebbe essere così? Sviluppandola per k=2 non mi tornava.
$ x*i^k -\sum_{n=0}^(k-1) R*i^n$