Ecco un grazioso problema sul quale gradirei una conferma.
Esercizio. Si studi la convergenza in campo reale della serie di funzioni \( \displaystyle S(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} 4^{n} \sin \left( \frac{x}{5^{n}}\right) \) e si calcoli il $\lim_{x \to 0} (S(x))/x$.
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Diciamo che per la prima parte, a meno di gravi sviste, dovrei esserci: fissato $x_{0} in RR$ e ricordando che $|sinx|<=|x|$ per ogni $x \in RR$, si ha
\( \displaystyle \vert 4^{n} \sin \left( \frac{x_0}{5^{n}}\right) \vert \le \left(\frac{4}{5}\right)^{n}|x_{0}| \)
e quindi, per il criterio del confronto per serie a termini positivi, la serie numerica $S(x_0)$ è assolutamente convergente e, dunque, convergente. In altre parole, la serie di funzioni converge puntualmente per ogni $x \in RR$.
[Che la \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{4}{5}\right)^{n} \) converga è ovvio essendo una serie geometrica di ragione $4/5<1$.]
Ok fin qui?
Per quanto riguarda il limite, invece, mi chiedo: è lecito passare al limite sotto la sommatoria? Mi sa che la convergenza puntuale è troppo debole, ci vuole quella uniforme.
Se potessi far passare il limite sotto il segno di sommatoria, allora facilmente \( \displaystyle \frac{S(x)}{x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{4}{5} \right)^{n} \frac{ \sin \frac{x}{5^{n}}}{\frac{x}{5^{n}}} \) : il secondo fattore va a 1 per uno dei limiti più notevoli dai tempi di Analisi I (
) e in definitiva \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{S(x)}{x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{4}{5}\right)^{n} = 5 \) .
\( \displaystyle \vert 4^{n} \sin \left( \frac{x_0}{5^{n}}\right) \vert \le \left(\frac{4}{5}\right)^{n}|x_{0}| \)
e quindi, per il criterio del confronto per serie a termini positivi, la serie numerica $S(x_0)$ è assolutamente convergente e, dunque, convergente. In altre parole, la serie di funzioni converge puntualmente per ogni $x \in RR$.
[Che la \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{4}{5}\right)^{n} \) converga è ovvio essendo una serie geometrica di ragione $4/5<1$.]
Ok fin qui?
Per quanto riguarda il limite, invece, mi chiedo: è lecito passare al limite sotto la sommatoria? Mi sa che la convergenza puntuale è troppo debole, ci vuole quella uniforme.
Se potessi far passare il limite sotto il segno di sommatoria, allora facilmente \( \displaystyle \frac{S(x)}{x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{4}{5} \right)^{n} \frac{ \sin \frac{x}{5^{n}}}{\frac{x}{5^{n}}} \) : il secondo fattore va a 1 per uno dei limiti più notevoli dai tempi di Analisi I (
) e in definitiva \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{S(x)}{x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{4}{5}\right)^{n} = 5 \) .Suggerimenti, correzioni e commenti sono ben accetti. Grazie.
