da gugo82 » 11/02/2024, 01:53
Guarda il grafico, altrimenti che l'hai tracciato a fare?
Traccia il grafico:
poi immagina le rette del fascio improprio di equazione $y=k$ (dove $k$ non è quello dell'inizio dell'esercizio, ovviamente, ma un nuovo parametro):
- se $k >= 0$, le rette del fascio passano nel primo e secondo quadrante e non intersecano il grafico di $f(|x|)$, quindi l'equazione $f(|x|)= k$ non ha soluzioni:
- allo stesso modo, se $k<0$ e $k> \max f(|x|) = - ln 2$, le rette del fascio -pur passando per il terzo ed il quarto quadrante- non intersecano il grafico di $f(|x|)$, quindi $f(|x|) = k$ non ha soluzioni:
- se $k=-ln 2 ~~-0.693$, la retta $y=k$ interseca il grafico di $f(|x|)$ nei due punti di massimo assoluto, quindi l'equazione $f(|x|) = k$ ha due soluzioni (o quattro, se contate con la loro molteplicità1), cioè $x=+- 1$ (le ascisse dei punti di massimo):
- infine, se $k<-ln 2$, la retta $y=k$ interseca il grafico di $f(|x|)$ in quattro punti distinti, quindi l'equazione $f(|x|) = k$ ha quattro soluzioni distinte (cioè le ascisse dei quattro punti di intersezione):
e, se chiami $x_1(k) < x_2(k) < x_3(k) < x_4(k)$ le soluzioni dell'equazione (le quali dipendono ovviamente dalla scelta del parametro $k$), puoi pure dire che $x_1(k) = -x_4(k)$ e $x_2(k) = -x_3(k)$ (per parità) e che:
$lim_(k -> -oo) x_3(k) = 0^+$ e $lim_(k -> -oo) x_4(k) = +oo$
cosicché pure $lim_(k -> -oo) x_2(k) = 0^-$ e $lim_(k -> -oo) x_1(k) = -oo$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)