integrale difficile?

[leprep98]

Vi propongo un integrale definito interessante, buon divertimento!
$int(x^6+3x^3+1)/(x^7+x)dx$

[axpgn]

Scomposizione in fratti semplici.

[anto_zoolander]

Scomposizione in fratti semplici.

Nu

$int(x^6+3x^3+1)/(x^7+x)dx=int1/x*(x^6+1+3x^3)/(x^6+1)dx=$

$=int1/x*(1+(3x^3)/(1+(x^3)^2))dx=log|x|+int(3x^2)/(1+(x^3)^2)dx=$

$=log|x|+arctan(x^3)$

[axpgn]

Gli ho solo indicato il metodo standard ...

Puoi scomporla in tanti modi, per esempio così ... $1/x+3/(x^4-x^2+1)-3/(x^6+1)$

[anto_zoolander]

Il mio ‘nu’ era in particolare riferito a quel punto così imperativo
Però secondo me con i frati semplici ci si dilunga troppo.

[axpgn]

Dipende ... da chi sei ...

Per una volta che non metto i tre punti ...

A proposito: come risolveresti la scomposizione che ho scritto io?

[leprep98]

Io ho risolto l'integrale in un modo più contorto. Ho scomposto l'integrale in due integrali quindi $int(x^6+3x^3+1)/(x^7+x)dx$ in $int(x^6+1)/(x^7+x)dx$ e $int(3x^3)/(x^7+x)dx$ I calcoli così si allungano notevolmente rispetto alla soluzione proposta da: anto_zoolander

[anto_zoolander]

@alex scusa l’ho visto solo adesso

@leprep sostanzialmente quella è la mia stessa scomposizione se ci fai caso

[leprep98]

Più o meno, solo che scomposto in questo modo risulta molto più lungo ed elaborato arrivare alla soluzione, ti mostro come ci sono arrivato io.
$int(x^6+1)/(x^7+x)dx$ = $1/7*int(7x^6+7)/(x^7+x)dx$ = $1/7*int(7x^6+1)/(x^7+x)dx + 1/7*int(6)/(x^7+x)dx$
=> $1/7*int(7x^6+1)/(x^7+x)dx$ =$1/7*log|x^7+x|$
=> $1/7*int(6)/(x^7+x)dx$ = $1/7*int(6)/(x^7(1+1/x^6))dx$ => $u=1+1/x^6$ => $dx=-x^7/6du$ => $-1/7*int(1/u)du=-1/7log(1+1/x^6)$
$int(3x^3)/x^7+x)=arctan(x^3)$

$1/7+log|x^7+x|-1/7*log(1+1/x^6)*arctan(x^3)+C = 1/7*log|x(x^6+1)|-1/7+log((x^6+1)/x^6)+arctan(x^3)+log|x|+arctan(x^3)+C$