Verifica del limite

[mel__]

Buongiorno a tutti!
Sto cercando di svolgere questo esercizio

I punti a. e b. sono riuscita a svolgerli.
Nel punto c. conosco il procedimento della verifica del limite con la definizione ma ho problemi a risolvere le disequazioni.
Nel punto d. non so proprio da dove iniziare.
c) In ordine:
$lim_{x\to\-infty} f(x)=-1^+$
Per la definizione: $-1<f(x)<-1+epsilon$, cioè: $-1<1/{2^{2/x}-2}<-1+epsilon$ e devo ottenere che la x sia minore di -N, con N>0.
Ho diviso le due disequazioni.
Per la prima: $-1<1/{2^{2/x}-2}$
${2^{2/x}-1}/{2^{2/x}-2}>0$
e ho ottenuto $0<x<2$
Per la seconda: $1/{2^{2/x}-2}<-1+epsilon$ non so proprio come risolverla.
Ovviamente ho lo stesso problema anche per $lim_{x\to\+infty} f(x)=-1^-$
Per quanto riguarda $lim_{x\to\2^-} f(x)=+infty$, ho la disequazione:
$f(x)>M$ da cui devo ottenere un intorno sinistro di 2, cioè: $2-delta<x<2$
Quindi: $1/{2^{2/x}-2}>M$
che non so come risolvere. Stesso problema per il $lim_{x\to\2^+} f(x)=-infty$
L'ultimo punto non so proprio impostarlo

[Noodles]

Per quanto riguarda il punto c, poichè:

$[lim_(x->-oo)1/(2^(2/x)-2)=-1] ^^ [lim_(x->+oo)1/(2^(2/x)-2)=-1]$

risolvendo la disequazione sottostante:

$|1/(2^(2/x)-2)+1| lt \epsilon$

puoi determinare, allo stesso tempo, i due intorni dipendenti da $\epsilon$ di $-oo$ e $+oo$. Per semplificare i calcoli, considera $\epsilon$ piccolo e positivo, nel primo caso $x$ grande e negativo, nel secondo caso $x$ grande e positivo:

$\{(1/(2^(2/x)-2)+1 gt -\epsilon),(1/(2^(2/x)-2)+1 lt \epsilon):} rarr \{((\epsilon+1)2^(2/x) lt 2\epsilon+1),((\epsilon-1)2^(2/x) lt 2\epsilon-1):}$

(poichè il denominatore è definitivamente negativo, puoi semplificarlo cambiando il verso)

Prova tu a concludere.

[mel__]

Ok. Adesso mi sono chiari questi passaggi. Però non so concludere le disequazioni. Una volta arrivata a:
$(epsilon-1)2^{2/x}<2epsilon-1$ farei:
$2^{2/x}<frac{2epsilon-1}{epsilon-1}$
Ora dovrei applicare il logaritmo ad entrambi i membri?

[Noodles]

$\{((\epsilon+1)2^(2/x) lt 2\epsilon+1),((\epsilon-1)2^(2/x) lt 2\epsilon-1):} rarr \{(2^(2/x) lt (2\epsilon+1)/(\epsilon+1)),(2^(2/x) gt (2\epsilon-1)/(\epsilon-1)):} rarr \{(2/x lt log_2((2\epsilon+1)/(\epsilon+1))),(2/x gt log_2((2\epsilon-1)/(\epsilon-1))):}$

Caso 1: $x->-oo$

$\{(x lt 2/log_2((2\epsilon+1)/(\epsilon+1))),(x lt 2/log_2((2\epsilon-1)/(\epsilon-1))):}$

Caso 2: $x->+oo$

$\{(x gt 2/log_2((2\epsilon+1)/(\epsilon+1))),(x gt 2/log_2((2\epsilon-1)/(\epsilon-1))):}$

Inutile dire che devi stare molto attenta al segno dei fattori per cui moltiplichi o dividi.

[mel__]

Non mi sono chiari i segni delle disequazioni. All'inizio il primo è < e l'altro è >. Se prendiamo $x\to\-infty$, poiché devo portare x al numeratore, essendo x negativa, i segni non dovrebbero diventare > nella prima e < nella seconda? Stesso discorso per il caso $x\to\+infty$. Non dovrebbe essere la prima < e la seconda >?
Non capisco cosa sto saltando. In ogni caso, grazie mille per l'aiuto

[Noodles]

Dovrebbe bastare l'analisi del primo caso:

$\{((\epsilon+1)2^(2/x) lt 2\epsilon+1),((\epsilon-1)2^(2/x) lt 2\epsilon-1):} rarr \{(2^(2/x) lt (2\epsilon+1)/(\epsilon+1)),(2^(2/x) gt (2\epsilon-1)/(\epsilon-1)):}$

(nella seconda disequazione, se $\epsilon$ è piccolo e positivo, $\epsilon-1$ è negativo)

$\{(2^(2/x) lt (2\epsilon+1)/(\epsilon+1)),(2^(2/x) gt (2\epsilon-1)/(\epsilon-1)):} rarr \{(2/x lt log_2((2\epsilon+1)/(\epsilon+1))),(2/x gt log_2((2\epsilon-1)/(\epsilon-1))):}$

(nessuna criticità)

Caso 1: $x->-oo$

$\{(2/x lt log_2((2\epsilon+1)/(\epsilon+1))),(2/x gt log_2((2\epsilon-1)/(\epsilon-1))):} rarr \{((2-xlog_2((2\epsilon+1)/(\epsilon+1)))/x lt 0),((2-xlog_2((2\epsilon-1)/(\epsilon-1)))/x gt 0):}$

(nessuna criticità)

$\{((2-xlog_2((2\epsilon+1)/(\epsilon+1)))/x lt 0),((2-xlog_2((2\epsilon-1)/(\epsilon-1)))/x gt 0):} rarr \{(2-xlog_2((2\epsilon+1)/(\epsilon+1)) gt 0),(2-xlog_2((2\epsilon-1)/(\epsilon-1)) lt 0):}$

($x$ è definitivamente negativo)

$\{(2-xlog_2((2\epsilon+1)/(\epsilon+1)) gt 0),(2-xlog_2((2\epsilon-1)/(\epsilon-1)) lt 0):} rarr \{(x lt 2/log_2((2\epsilon+1)/(\epsilon+1))),(x lt 2/log_2((2\epsilon-1)/(\epsilon-1))):}$

(nella prima disequazione, se $\epsilon$ è positivo, $log_2((2\epsilon+1)/(\epsilon+1)) gt 0$ perchè $(2\epsilon+1)/(\epsilon+1) gt 1$)

(nella seconda disequazione, se $\epsilon$ è piccolo e positivo, $log_2((2\epsilon-1)/(\epsilon-1)) lt 0$ perchè $(2\epsilon-1)/(\epsilon-1) lt 1$)

Per concludere:

$\{(x lt 2/log_2((2\epsilon+1)/(\epsilon+1))),(x lt 2/log_2((2\epsilon-1)/(\epsilon-1))):} rarr x lt 2/log_2((2\epsilon-1)/(\epsilon-1))$

Non mi sono chiari i segni delle disequazioni ...

Le disequazioni hanno un verso, non un segno.

[mel__]

Ora mi è tutto chiarissimo! Mi mancavano completamente dei passaggi. Grazie mille per l'aiuto