Disequazione valore ass

[ilgaspare]

Ciao a tutti ho una domanda che mi sta mandando ai matti.
Premetto che ho già risolto correttamente la disequazione che sto per proporvi "smodulando" prima l'esterno e poi l'interno.

Tuttavia per mera curiosità ho provato ad agire in modo diverso e il risultato non mi torna ma io penso che DEBBA tornare e per quando mi stia scervellando non capisco se sbaglio qualcosa a livello di calcolo oppure se pr qualche motivo che mi sfugge è giusto che non venga corretto (in tal casvo vi prego di spiegarmi perché perché io non vedo il problema vi giuro).


Allora ho la seguente: $|x+|x^2-4||>=-x$

Mia idea (poco geniale a quanto pare ): ho pensato di risolvere il modulo interno e poi quello esterno:
Studio il classico segno di $x^2-4>=0$ e trovo che $x>=2$ oppure $x<=-2$

A questo punto mi si parano davanti 3 sistemi:

-due per il caso positivo
I)
$x>=2$
$|x+x^2-4|>=-x$


II)
$x<=-2$
$|x+(x^2-4)|>=-x$

uno per quello negativo:
III)
$-2<=x<=2$
$|x-(x^2-4)|>=-x$

Questi si svolgono idealmente (come ho fatto su carta) studiando i casi per ogni sistema.

Quindi per i due casi positivi (che vanno uniti) avrò per ognuno due sottocasi: uno per $x+x^2-4>=0$ uno per $x+x^2-4<0$ per un totale di 4 sistemi le cui soluzioni vanno tutte unite.

Il caso negativo III) avrà anche lui i due suoi sottocasi.

Ebbene dopo questa impresa titanica cosa succede? Nulla, tutto sbagliato perché ho come soluzioni per
I) $x>=2$
II) $x=2$ unita a $x<=-1-sqrt5$
III) $-2<=x<=2$

Booh sono tristissimo non capisco cosa non vada. Non mi sembra sbagliato ragionare per casi così...eppure il risultato non c'è

Risultato corretto:
$x>=-1-sqrt5$ unto $x>=1-sqrt5$ unito $x=-2$

[sellacollesella]

Applicando la definizione di valore assoluto, si ha: \[
\left|x+\left|x^2-4\right|\right|\ge -x
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
-2<x<2\\
\left|x-x^2+4\right|\ge -x
\end{cases}
\quad\cup\quad
\begin{cases}
x\le -2\,\vee\,x\ge 2\\
\left|x+x^2-4\right|\ge -x
\end{cases}.
\]
Quindi, replicando tutto ciò nel primo caso, si ha: \[
\left|x-x^2+4\right|\ge -x
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
x<\frac{1-\sqrt{17}}{2}\,\vee\,x>\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\
-x+x^2-4\ge -x
\end{cases}
\quad\cup\quad
\begin{cases}
\frac{1-\sqrt{17}}{2}\le x\le\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\
x-x^2+4\ge -x
\end{cases}
\] e intersecando con \(-2<x<2\) la soluzione è \(1-\sqrt{5}\le x<2\).


Quindi, replicando tutto ciò nel secondo caso, si ha: \[
\left|x+x^2-4\right|\ge -x
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
\frac{-1-\sqrt{17}}{2}<x<\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\\
-x-x^2+4\ge -x
\end{cases}
\quad\cup\quad
\begin{cases}
x\le\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\,\vee\,x\ge\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\\
x+x^2-4\ge -x
\end{cases}
\] e intersecando con \(x\le -2\,\vee\,x\ge 2\) la soluzione è \(x\le -1-\sqrt{5}\,\vee\,x=-2\,\vee\,x\ge 2\).


Unendo le soluzioni dei due casi si ottiene la soluzione della disequazione in esame: \[
\boxed{x\le -1-\sqrt{5}\,\vee\,x=-2\,\vee\,x\ge 1-\sqrt{5}\,}
\] Al di là dei calcoli noiosi per via delle radici, si tratta del solito procedimento.

[ilgaspare]

Sì, mi sembra proprio quello che ho ottenuto io, solo che non mi ero accorto di aver sbagliato l'unione! Avevo posto un valore sotto un altro e quindi non mi tirnava, rifacendo lo schema ho capito

PS: ho fatto un typo scrivendo il compreso uguale ma era solo compreso. Ma non era tanto quello a non tornarmi. il punto era proprio che avevo sbagliato l'unione delle soluzioni I II e III. Che scemo! avevo gia il risultato e non mi ero accorto. ho perso ore!


grazie mille