Dubbio su immagine di una funzione composta

[Quasar3.14]

Ciao a tutti,
ho un dubbio circa il calcolo del dominio e dell’immagine di una funzione composta.

Le funzioni sono $f(x)=(2x+1)/(x-2)$ e $g(x)=sqrt(1+x)$

La funzione $y=f(g(x))$ e $(2sqrt(1+x)+1)/(sqrt(1+x)-2)$

Il dominio della funzione composta è $[-1,3)U(3,+infty)$ in quanto $x+1>=0$ e $(sqrt(1+x)-2)!=0$ quindi $x!=3$ per le condizioni di esistenza.

Per trovare l’immagine riscrivo il tutto in funzione di $x$.

Quindi ottengo $y(sqrt(1+x)-2)= 2sqrt(1+x)+1$ svolgendo i calcoli arrivo a $sqrt(1+x)=(2y+1)/(y-2)$

Ora poiché $(1+x)>=0$ anche $(2y+1)/(y-2)>=0$ per concordanza tra il primo ed il secondo membro dell’equazione.
$(2y+1)/(y-2)>=0$ ha come risultato $(-infty, -1/2] U (2, +infty) $

La prima domanda è, per voi i passaggi fatti fino ad adesso vi risultano corretti?

La seconda è, il risultato ottenuto è già l’immagine della funzione composta? In tal caso, posso già terminare lo svolgimento dell'esercizio?

La seconda domanda è dovuta al fatto che se continuo i calcoli avrò lo stesso risultato, infatti ottengo
$1+x=(4y^2+1+4y)/(y^2-4y+4)$
$x=(3y^2+8y-3)/(y^2-4y+4)$

Metto a sistema

${(x>=-1), (x=(3y^2+8y-3)/(y^2-4y+4)):}$

Sostituendo il valore di $x$ dell'equazione all'interno della disequazione, svolgendo i calcoli ottengo nuovamente $(-infty, -1/2] U (2, +infty)$.

[Noodles]

Graficamente, puoi anche ridurti ad una funzione omografica dopo aver osservato che l'argomento di quest'ultima è non negativo.

[Quasar3.14]

Graficamente, puoi anche ridurti ad una funzione omografica dopo aver osservato che l'argomento di quest'ultima è non negativo.

Purtroppo per il momento non padroneggio ancora il disegno dei grafici quindi, almeno per il momento, preferisco trovare la soluzione per via analitica.
Pensi che i passaggi siano corretti?

[Noodles]

Mi sembra di capire che tu voglia determinare l'immagine della funzione determinando, con la dovuta attenzione, il dominio della funzione inversa.

Per trovare l’immagine riscrivo il tutto in funzione di $x$ ...

Intanto, esplicitare la $x$ significa riscrivere il tutto in funzione di $y$.

... svolgendo i calcoli arrivo a $sqrt(1+x)=(2y+1)/(y-2)$ ...
... poiché $(1+x)>=0$ anche $(2y+1)/(y-2)>=0$ per concordanza ...

Inoltre, le argomentazioni di cui sopra sembrano evidenziare un grave errore concettuale: pensare che la condizione di esistenza del radicale abbia qualcosa a che fare con il segno del radicale medesimo. Insomma, il radicale è non negativo per convenzione, si è deciso di considerare il radicale aritmetico, non per la condizione di esistenza. Solo per fare un esempio:

$sqrt(x-1)=x-7$

richiede il sistema sottostante:

$\{(x-7 gt= 0),(x-1=(x-7)^2):}$

se, per convenzione, si è deciso, quando esiste, di estrarre a primo membro la radice positiva;

$sqrt(x-1)=x-7$

richiede il sistema sottostante:

$\{(x-7 lt= 0),(x-1=(x-7)^2):}$

se, per convenzione, si è deciso, quando esiste, di estrarre a primo membro la radice negativa. Insomma, quale delle due soluzioni scartare:

$x=10 vv x=5$

dipende solo dalla convenzione, non dal campo di esistenza della radice. Quindi, poichè, per convenzione, quando esiste:

$sqrt(1+x) gt= 0$

necessariamente:

$(2y+1)/(y-2) gt= 0$

Infine, poichè scomodare la funzione inversa richiede una certa cautela, non è ben chiaro quale sia il rigore richiesto.

[Quasar3.14]

Grazie Noodles per la tua risposta e la tua spiegazione.

Mi sembra di capire che tu voglia determinare l'immagine della funzione determinando, con la dovuta attenzione, il dominio della funzione inversa.

L'esercizio richiede, date le due funzioni, di determinare dominio e immagine della composta.

Inoltre, le argomentazioni di cui sopra sembrano evidenziare un grave errore concettuale: pensare che la condizione di esistenza del radicale abbia qualcosa a che fare con il segno del radicale medesimo. Insomma, il radicale è non negativo per convenzione, si è deciso di considerare il radicale aritmetico, non per la condizione di esistenza.

Scusami ma non ho compreso il tuo post o forse mi sono espresso male nel mio di apertura.
Siamo in $RR$, la radice è di indice pari quindi non credo di aver commesso errori con le C.E.

Avendo la seguente equazione, il primo membro, lo impongo per la C.E. non negativo, altrimenti non sarebbe definito, quindi di conseguenza anche il secondo membro deve essere non negativo affinchè l'equazione risulti vera.

$ sqrt(1+x)=(2y+1)/(y-2) $

Per questa ragione ho poi imposto il sistema negli step successivi.
Lo so, avrei dovuto impostarlo anche in questo passaggio, ma pensavo che l'argomentazione scritta fosse sufficiente.

Ciò che però non mi torna dell'esercizio sono invece le due domande iniziali. Ossia se, sono corretti i passaggi per trovare dominio e immagine della funzione composta e se, arrivati a questo punto $ sqrt(1+x)=(2y+1)/(y-2) $ , dopo aver impostato il sistema, posso ritenere concluso l'esercizio o se invece devo continuare con gli step scritti nel primo post.
C'è qualche altro modo, che non sia per via grafica, per calcolare l'immagine?

Grazie

Grazie ancora per l'aiuto.

[Noodles]

Avendo la seguente equazione:

$sqrt(1+x)=(2y+1)/(y-2)$

il primo membro, per la condizione di esistenza, lo impongo non negativo, altrimenti non sarebbe definito.

Visto che sembri essere incline ad un certo rigore, non puoi partire con il piede sbagliato. Il primo membro non è:

$1+x$

piuttosto:

$sqrt(1+x)$

e la sua condizione di esistenza:

$1+x gt= 0$

non ha nulla a che fare con il suo segno, cioè, il segno di:

$sqrt(1+x)$

Insomma, solo per fare un esempio, se:

$x=8$

il primo membro esiste:

$sqrt9$

Tuttavia:

$sqrt9=+-3$

e il fatto di considerare:

$sqrt9=3$

deriva solo da una mera convenzione, considerare, delle due determinazioni della radice, quella non negativa.

... il primo membro, per la condizione di esistenza, lo impongo non negativo, altrimenti non sarebbe definito.

A questo punto, mi spieghi il senso di questa affermazione? Ti rendi condo che, nella migliore delle ipotesi, hai confuso il soggetto? In definitiva:

$(2y+1)/(y-2) gt= 0$

non per il campo di esistenza, piuttosto, per una mera convenzione.

P.S.
Sarebbe meglio chiarire il contesto in cui stai svolgendo questo e altri esercizi.