Esercizio trigonometria (difficile)

[HowardRoark]

Sul settore circolare $AOB$ di centro $O$, raggio $r$ e di ampiezza $pi/2$, considera i punti $P$ e $Q$ tali che $A\hat OQ = 2A\hat OP$. Sia $T$ il punto di intersezione tra la retta $OP$ e la retta per $Q$ parallela a $OA$. Determina il valore massimo di $2TP + AQ$.





Siccome si parla di un settore circolare, i punti $P$ e $Q$ li posso prendere anche all'interno di esso, giusto? Io comunque ho preso $P$ all'interno e $Q$ sulla circonferenza per agevolarmi con i calcoli, ma non so se andassero presi entrambi sulla circonferenza.

Comunque, chiamo $A\hat OQ = beta$ e $A\hat OP = alpha$. Si ha che $AQ = 2Rsenalpha$.
I triangoli $OAP$ e $POQ$ sono congruenti, in particolare $AP=PQ$: $P$ è il punto medio di quella corda e quindi il raggio è perpendicolare a $AQ$. Si tratta allora di triangoli rettangoli.
Inoltre il triangolo $POQ$ è congruente a $PQT$ e quindi $AOP$ è congruente a $PQT$.
Dalla figura si deduce che $TP = R * cosalpha$ e $AQ = 2R senalpha$, quindi devo massimizzare $2Rsenalpha + 2R cosalpha = 2R(senalpha + cosalpha)$.
$senalpha + cosalpha$ è massima in $alpha = pi/4$, e quindi il valore massimo sarebbe $2R * (sqrt(2)/2 + 1/2)$, però la soluzione è sbagliata.
Probabilmente avrei dovuto prendere $P$ sulla circonferenza e fare un altro ragionamento, ma adesso sarebbe utile avere un input, giusto per capire come procedere.

[mgrau]

Se si deve intendere che $P$ e $Q$ sono sulla circonferenza, allora $TP = R(2cos alpha -1)$, e quel che va massimizzato è un'altra cosa.
Comunque il valore max di $sin alpha + cos alpha$, per $pi/4$ è $sqrt(2)$, non quello che hai scritto

[HowardRoark]

Se si deve intendere che $P$ e $Q$ sono sulla circonferenza, allora $TP = R(2cos alpha -1)$

Perché $TP = R(2cos alpha -1)$?

EDIT: forse ci posso arrivare. Facciamo che $P$ stia sulla circonferenza. Studio il triangolo $PAT$. $AP$ lo posso determinare: $AP = 2Rsen(alpha/2)$. $AT$ è congruente al raggio della circonferenza, però mi manca la misura dell'angolo tra i lati $TP$ e $AP$ per risolvere il triangolo...

[mgrau]

Perchè $AOQT$ è un rombo, $TO$ è una diagonale, e vale $2Rcosalpha$, e $TP = TO - R$

[HowardRoark]

Ok, ora credo di aver capito. Ricopio tutti i passaggi in bella e se ci sono altri dubbi li scrivo.
Grazie mille!

[HowardRoark]

Ho un ultimo dubbio. Io devo massimizzare $2TP + AQ = 2R(cosalpha-1) + 2Rsenalpha = 2R(2cosalpha-1+senalpha)$, quindi la mia idea era quella di rappresentare $2cosalpha-1+senalpha$ e vedere i suoi punti di massimo.
Il problema è che per rappresentare una funzione del genere io conosco solo il metodo dell'angolo aggiunto, che mi permetterebbe di scrivere la funzione solo in termini di seno o coseno. Data $y=asenx + bcosx$, costruirei un triangolo rettangolo che ha come cateti $a/F$ e $b/F$ e ipotenusa 1, con $F=sqrt(a^2+b^2)$. Se i valori di seno e coseno sono noti, li posso sostituire nella funzione ottenendo l'obiettivo. In questo caso, però: $F=sqrt(a^2+b^2) = sqrt(5)$, quindi $senx + 2cosx -1 = sqrt(5)(1/sqrt(5)senx + 2/sqrt(5)cosx)-1$. $1/sqrt(5)$ e $2/sqrt(5)$ non corrispondono ad alcun valore angolare noto né di seno né di coseno, quindi questo metodo in questo caso non funziona.

EDIT: potrei anche risolvere l'esercizio facendo la derivata della funzione e poi imporla uguale a 0, ma in teoria dovrei risolverlo diversamente.

[mgrau]

potrei anche risolvere l'esercizio facendo la derivata della funzione e poi imporla uguale a 0, ma in teoria dovrei risolverlo diversamente.

In effetti, anche io ho trovato solo questa strada, e mi viene $sin alpha = 1/sqrt(5)$.
Magari qualcuno può darti un'idea migliore...

[@melia]

Non devi trovare il valore massimo dell'angolo, devi trovare il valore massimo di $2TP+AQ$ che diventa:

$2TP+AQ=2r(2/sqrt5-1+2/sqrt5)=2r(4-sqrt5)/sqrt5=2/5r(4sqrt5-5)$

[HowardRoark]

Non devi trovare il valore massimo dell'angolo, devi trovare il valore massimo di $2TP+AQ$

Questo è chiaro, devo massimizzare la somma delle diagonali del rombo.

$2TP+AQ=2r(2/sqrt5-1+2/sqrt5)=2r(4-sqrt5)/sqrt5=2/5r(4sqrt5-5)$

Quindi parto da $ 2TP + AQ = 2R(senx + 2cosx-1)$. La mia idea era quella di massimizzare il membro tra parentesi, quindi $(senx+2cosx-1)$. Per massimizzare questa funzione, posso calcolarne la derivata e porla uguale a $0$. Credo che questo procedimento sia corretto, però non ho capito come passi da $2R(senx + 2cosx-1)$ a $2r(2/sqrt5-1+2/sqrt5)$.