Problema Calcolo Combinatorio/Probabilità

[F_Bianchi_1]

Salve, ho qualche problema con questo esercizio. Potete aiutarmi?
L'esercizio chiede:
"Il 10% di una certa popolazione è contagiato da un virus. Si scelgono a caso 4 persone della popolazione.
Supponendo le scelte tra loro indipendenti, qual è la probabilità che almeno due delle quattro persone siano contagiate ?"

Io ho provato a ragionare nel seguente modo:
CASI FAVOREVOLI: quando ho 2 contagiati e 2 non contagiati + quando ho 3 contagiati e 1 non contagiato + quando ho 4 contagiati, ovvero:
(0.1*0.1)/2 * (0.9*0.9)/2 + (0.1*0.1*0.1*0.9)/6 + (0.1*0.1*0.1*0.1)/24 = 523/240000

Mi ritrovo con un 24 di troppo al denominatore che non saprei come eliminare.
Grazie per l'attenzione.

[mgrau]

CASI FAVOREVOLI: quando ho 2 contagiati e 2 non contagiati + quando ho 3 contagiati e 1 non contagiato + quando ho 4 contagiati, ovvero:
(0.1*0.1)/2 * (0.9*0.9)/2 + (0.1*0.1*0.1*0.9)/6 + (0.1*0.1*0.1*0.1)/24 = 523/240000

Mi ritrovo con un 24 di troppo al denominatore che non saprei come eliminare.

Ma il 24 da dove viene? La probabilità di trovarti 4 contagiati è semplicemente $0.1^4$

[HowardRoark]

Devi utilizzare una binomiale, con $p=0.1$ ed $N=4$.

Nella fattispecie: $P(N>=2) = ((4),(2)) 0,10^2(1-0,1)^(4-2) + ((4),(3)) 0,10^3(1-0,10)^(4-3) + ((4),(4)) 0,10^4(1-0,10)^(4-4)$.

Il coefficiente binomiale $((n),(x))$ conta tutte le possibili combinazioni con $x$ successi su $n$ prove, a cui poi devi moltiplicare: la probabilità $p$ che l'evento si verifichi (ad esempio, nel primo addendo $0,10$ è elevato al quadrato perché è richiesto che l'evento si debba verificare due volte) per la probabilità che l'evento non si verifichi (la probabilità che l'evento non si verifichi è ovviamente $1-p$, che devi elevare alla $n-x$ che sarebbe "eventi totali - eventi favorevoli").

[ghira]

O anche $1-(0,9)^4-4*(0,9)^3*(0,1)$

[gio73]

Vediamo se ho capito Ghira, che bisogna ammetterlo ha il dono della sintesi!

A volte è più facile pensare al contrario, cioè quali sono i casi non favorevoli

Nessun contagiato
90%=0,9

Le persone sono 4
0,9x0,9x0,9x0,9

Un contagiato
0,1 ma gli altri 3 sono sani
0,1x0,9x0,9x0,9

Le persone sono 4, togli la probabilità che sia contagiata solo la persona, poi la probabilità che sia contagiata solo la persona 2...

[ghira]

Vediamo se ho capito Ghira, che bisogna ammetterlo ha il dono della sintesi!

Grazie. Sono commosso.