Funzioni goniometriche

[Bad90]

Si, sono stato poco chiaro, perdonatemi!
Il concetto è quello spiegato da giammaria, adesso ho compreso perfettamente il significato! Ti ringrazio vivamente

[Bad90]

Esercizio 9
Ho risolto il seguente esercizio, ma sto avendo qualche problemino negli arrotondamenti, almeno penso sia quello l'errore... Ecco la traccia:

Calcola l'ampiezza in gradi e radianti di un arco di circonferenza lungo $ 45m $ e il cui raggio misura $ 30m $

Ecco cosa ho fatto:

$ l=alpha*r $ segue $ alpha= l/r $

$ alpha= (45m)/(30m)=3/2=1,5 $ (ampiezza angolo in radianti)

Adesso imposto la proporzione:

$ alpha^o :180= alpha^r : pi $

$ alpha^o = (180 * 1,5)/(3,14)=(85,98)^o $ ( ampiezza in gradi)

Adesso con il metodo del calcolo dei primi e secondi, faccio così:

$ (85,98)^o $

$ 0,98 * 60= 58,8 $

Quindi fin quì abbiamo $ 85^o 58' $

$ 0,8 * 60= 48 $

Quindi abbiamo $ 85^o 58' 48''$

Perchè il testo mi dice che il risultato corretto è $ 85^o 56' 37''$

[Gi8]

Semplicemente, nel calcolo hai considerato poche cifre di $pi$. Solo $3.14$ non è sufficiente.
Se hai usato la calcolatrice, avrai il comando "$pi"$ che ti dice il valore di $pi$ con almeno $6$ cifre dopo la virgola.
Usa quello

[Bad90]

Hai ragione, adesso i conti tornano

Grazie mille!

[Bad90]

Esercizio 10

Calcolare la misura del raggio di una circonferenza sapendo che un suo arco è lungo $ 26cm $ e ha ampiezza di $ 26^o 12' 15'' $

Sono sicuro che la formula è $ r=l/alpha => (26cm)/alpha$
Penso il problema è nel ricavare in primis, l'ampiezza $ alpha = 26^o 12' 15'' $ ma in gradi e togliendo i primi e i secondi

Come si fa al contrario

Provo a dire qualcosa:

$ x*60=15''=>15/60=0,25 $

Quindi $ 26^o 12,25' $

$ x*60=12'=>(12')/60=0,2^o $

Quindi dite che deve essere $ 26,2^o $

Non sono sicuro di aver fatto bene, vorrei imparare a fare il procedimento al contrario di quello utilizzato per ricavare i primi e i secondi

Non so se la via risolutiva dell'esercizio centra con questo che voglio imparare, ma non so come arrivare alla soluzione $ 56,85 $

Grazie mille!

[Kashaman]

@ Kashaman: credo che Bad90 intendesse segmenti orientati, quali appunto sono seno e coseno; il meno avrebbe quindi un senso.

ciao giammaria, scusa una cosa .
Ok d'accordo, se si intende quei due segmenti come vettori d'accordo, quella scrittura ha senso.
Tuttavia non comprendo appieno questa tua affermazione :

segmenti orientati, quali appunto sono seno e coseno;

a meno di non sbagliarmi, ma scusa, geometricamente il seno e il coseno sono vettori?!

[giammaria]

geometricamente il seno e il coseno sono vettori?!

Assumendo come unità di misura il raggio, seno e coseno sono, con segno, le misure del segmento verticale e di quello orizzontale; spesso il discorso viene abbreviato dicendo che sono quei segmenti, presi con segno. Parlavo di segmenti orientati intendendo appunto che se ne doveva considerare il segno: più se in alto o a destra, meno altrimenti.
Avrei qualche perplessità a definirli vettori, dato che sono caratterizzati solo da grandezza e segno e non dalla direzione (che non può essere obliqua).
RITIRO il suggerimento di mettere il segno di vettore, avendo appena constatato che non funziona; ho già segnalato il problema in Questioni tecniche.

[giammaria]

Esercizio 10
$12,25'=((12,25)/60)°=0,204°$
Quindi $alpha=26,204°$
Ora devi trasformarlo in radianti e poi usare la tua prima formula per calcolare $r$.

[Kashaman]

ora è più chiaro giammaria. tuttavia neanche io li considererei come vettori.
Presa la circonferenza unitaria $C$ di centro $O$ e $r=1 u$ e un punto $P$ su $C$ (disegnata su un opportuno sistema di riferimento cartesiano Oxy)
se tracciamo da $P$ una parallela a $y$, otteniamo su $x$ un punto $K$.
Inoltre se congiungiamo $OPK$ otteniamo un triangolo rettangolo. Chiamiamo $\alpha$ l'angolo in $O$
giusto?
Possiamo dire che $OK=cos(\alpha)$ e $PK=sin(\alpha)$ giusto?
in questo senso diciamo quei due segmenti rappresentano delle lunghezze, che sono i due cateti del triangolo ottenuto.
Poniamo $c_1=OK,c_2=PK$
Penso tuttavia che il meno davanti a tali grandezze vada considerato come una traslazione. 7
del tipo se scriviamo $-PK$ , è da intendersi, che $c_2$ si trova sotto l'asse $x$.
se scriviamo $-OK$ è da intendersi che $c_1$ si trova nella posizione opposta della direzione di $x$.
In questo senso, si conserva il fatto che sono segmenti e il meno viene usato per una convenzione e nulla di più. Che ne dici?
piccola chicca :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

@Bad90 : dalle considerazioni fatte si intuisce l'identità fondamentale della trigonometria. $cos^2(alpha)+sin^2(\alpha)=1$ che penso troverai a breve.
Tale identità è vera. Essendo $OK$ e $PK$ i cateti del triangolo rettangolo ottenuto, l'ipotenusa di questo rettangolo è proprio $r$.
Da cui per il teorema di pitagora abbiamo che $OK^2+PK^2=r^2$
ma $OK=cos(\alpha)$, $PK=sin(\alpha)$ e $r=1$
pertanto , $cos^2(alpha)+sin^2(\alpha)=1$

[giammaria]

... sono segmenti e il meno viene usato per una convenzione e nulla di più.

Si può anche vederlo come una convenzione (non una traslazione, come prima ti è sfuggito) ma io preferisco accostarmi ai vettori: per definizione questi sono caratterizzati da intensità, direzione e verso e nel nostro caso abbiamo qualcosa caratterizzato da intensità e verso.
Forse il meglio è dire che seno e coseno sono ordinata e ascissa di un punto della circonferenza, assumendo come unità il raggio. Per essere più precisi e far quadrare anche il calcolo dimensionale, sono il rapporto fra queste coordinate ed il raggio.