Equazioni goniometriche elementari

[Zero87]

$ x= -52.5^o + k 90^o $

Adesso mi chiedo perche il testo dice $ x = 37.5^o + k90^o $

Voglio capire come funzionano questi esercizi

Idem di quanto ho detto prima. I libri, generalmente, hanno la soluzione "positiva".
Nel senso, la soluzione tua è giusta, però è negativa, se aggiungi un $90^o$ a quanto hai ottenuto, ottieni la stessa soluzione del libro.

Il principio è che se $\alpha + k\cdot 90^o$ è soluzione, è soluzione anche $\alpha + 90^o + k\cdot 90^o$. Una questione estetica e basta.

[Bad90]

$ x= -52.5^o + k 90^o $

Adesso mi chiedo perche il testo dice $ x = 37.5^o + k90^o $

Voglio capire come funzionano questi esercizi

Idem di quanto ho detto prima. I libri, generalmente, hanno la soluzione "positiva".
Nel senso, la soluzione tua è giusta, però è negativa, se aggiungi un $90^o$ a quanto hai ottenuto, ottieni la stessa soluzione del libro.

Il principio è che se $\alpha + k\cdot 90^o$ è soluzione, è soluzione anche $\alpha + 90^o + k\cdot 90^o$. Una questione estetica e basta.

Che sbadato che sono
Hai ragione, non stavo ricordando!

[Bad90]

E per l'esercizio 6,7,8 è sempre una questione estetica
Mentre l'esercizio 10 in cui compare una cotangente, cosa bisogna fare Come si risolve

[chiaraotta]

Esercizio 10

$ctg(30° + 2x) = sqrt(3)$
$30° + 2x = 30°+k180°$
$2x =k180°$
$x=k90°$.

[Bad90]

Esercizio 10

$ctg(30° + 2x) = sqrt(3)$
$30° + 2x = 30°+k180°$
$2x =k180°$
$x=k90°$.

E io che volevo trasformarlo in tangente e poi in coseno su seno.....
Adesso ho compreso che la cotangente si risolve nello stesso modo......

[Bad90]

Adesso mi restano da capire l'esercizio 6 ,7,8 !

[Zero87]

$ x_1 = -90*2 +2k360^o = -180^o +2k360^o $ E con questo risultato mi trovo con quello del testo
[...]
$ x_2 =540^o + 2k360^o $

Premetto che, nel 6, mi sono fidato dei tuoi calcoli (il sonno incombe!).

$2k\cdot 360^o = k\cdot 720^o$
$540^o - 720^o =$...

Non me l'aspettavo, pensavo che considerasse "l'angolo positivo", come prima.

Però, in genere, se non ti riporta una soluzione, prova ad aggiungere (o sottrarre) un periodo, poi vedi.

'Notte

[Bad90]

Niente, non riesco a darmi una risposta!

[giammaria]

Per l'esercizio 10, se non ami la cotangente (a me non piace) puoi trasformarla in tangente ed ottieni l'equazione
$tg(30°+x)=1/sqrt3$
che non dovrebbe darti problemi.
Per gli altri esercizi puoi confrontare le tue soluzioni con quelle del libro con uno di questi due metodi:
Primo metodo (valido sempre ma un po' lungo da applicare)
Prendi la soluzione che hai ottenuto e dai a $k$ un po' di valori (se hai $x_1$ ed $x_2$ fallo per entrambe), poi fai altrettanto con la soluzione del libro: se ottieni gli stessi numeri siete d'accordo. Qualche numero, tuo o del libro, può corrispondere a valori negativi di $k$.
Secondo metodo (valido solo quando $k$ è moltiplicato per 360° o per un suo sottomultiplo, ma veloce)
Riporta sul cerchio goniometrico tutte le tue soluzioni: se c'è $+k*360°$ si ripetono ogni giro e quindi ogni soluzione corrisponde ad un punto; se c'è $+k*180°$ si ripetono ogni mezzo giro ed ogni soluzione corrisponde a due punti (diametralmente opposti); se c'è $+k*120°$ è un terzo di giro e quindi tre punti (ai vertici di un triangolo equilatero), eccetera. Fai poi altrettanto per la soluzione del libro: se i punti sono gli stessi siete d'accordo.

Infine un'osservazione: il seno (o il coseno) vale $+1$ oppure $-1$ in un solo punto del cerchio goniometrico, quindi le due soluzioni che ottieni coincidono: continua con una sola di esse.
Se hai $sinx=0$ (uso $x$ ma al suo posto può esserci qualsiasi cosa) puoi applicare la regola generale e scrivere
$x=0°+k*360° vv x=180°+k*360°$
ma è più elegante notare che le soluzioni si ripetono ogni mezzo giro e quindi scrivere la soluzione nella forma
$x=0°+k*180°$
Ragionamento analogo per $cosx=0$: puoi scrivere
$x=+-90°+k*360°$
ma, notando che anche qui le soluzioni si ripetono ogni mezzo giro, si preferisce
$x=90°+k*180°$

Riassumendo: quando il seno o il coseno valgono $0$ o $+-1$ la regola generale resta valida ma è meglio non applicarla.

P.S.: mentre scrivevo questa mia lunga risposta ci sono stati numerosi altri interventi ma, data appunto la lunghezza, non la modifico; chiedo scusa agli altri.

[Bad90]

No, no, non modificare nulla, quanto hai scritto e' la ciliegina sulla torta!
Adesso rivedo un po tutte le mie carenze!
Ti ringrazio!