Sistemi di equazioni goniometriche

[Bad90]

Non sto capendo un semplice passaggio algebrico....
Se ho la seguente:

$ (cosx)/(senx) = sqrt(3) $

se voglio portare il secondo membro al primo, cosa resta al secondo membro Non penso che resterà zero, ma cosa bisogna fare
Non penso che sarà così:

$ (cosx)/((senx)(sqrt(3))) = 0 $

[chiaraotta]

Non sto capendo un semplice passaggio algebrico....
Se ho la seguente:

$ (cosx)/(senx) = sqrt(3) $

se voglio portare il secondo membro al primo, cosa resta al secondo membro

L'equazione è elementare e si risolve direttamente:
$ (cosx)/(sinx) = sqrt(3) ->cot x=sqrt(3)->x=pi/6+kpi$.

In ogni caso da
$ (cosx)/(senx) = sqrt(3) $
puoi dividere ambedue i membri dell'equazione per $sqrt(3)$ e ottieni
$ ((cosx)/(senx))/sqrt(3) = sqrt(3)/sqrt(3) ->(cosx)/(sqrt(3)(senx))=1$,
oppure puoi sottrarre $sqrt(3) $ ad ambedue i membri dell'equazione e ottieni
$ (cosx)/(senx) -sqrt(3)= sqrt(3)-sqrt(3)-> (cosx)/(senx) -sqrt(3)= 0$ .

[Bad90]

Ok, ti ringrazio

[Bad90]

Esercizio 2

Mi sto impallando con il seguente:

$ cosx + cosy =-1 $
$ cos2x - cos2y =2 $

Alla fine sono arrivato alle seguenti:

$ x + y = +- 90^o + k360^o $
$ x - y = +- 90^o + h180^o $

Ma poi non riseco ad arrivare alla soluzione finale!
Insomma cio' che sto facendo e' questo:

$ cos(x+y)=-1 $
$ 2cos^2x -2cos^2y =2 $

[giammaria]

Ehi, guarda che $cosx+cosy!=cos(x+y)$. Si possono fare i calcoli in più modi; il più banale è considerare come incognite i due coseni e ricavare il loro valore (dopo il calcolo che hai fatto per la seconda equazione).

[Bad90]

Adesso provo subito! Solo che non so cosa fare con la seconda equazione, intendo che non so se devo sfrutta le formule di duplicazione!
Sono riuscito e penso di aver fatto bene impostando il seguente sistema:

$ X+Y=-1 $
$ 2X+2Y=2 $

Alla fine sono arrivato a due soluzioni:
$ cosx = 0 $
$ cosy=-1 $

E quindi le soluzioni sono:

$ x=90^o +k180^o $
$ y=180^o +k360^o $

Va bene cosi'????

Ma non vanno considerate le quattro soluzioni cosi'?

$ x=+-90^o +k180^o $
$ y=+-180^o +k360^o $

[giammaria]

Il $+-$ delle ultime due formule è inutile: i punti sono gli stessi della precedente soluzione. A me però i valori di $x,y$ risultano scambiati fra loro.

[Bad90]

Il $+-$ delle ultime due formule è inutile: i punti sono gli stessi della precedente soluzione. A me però i valori di $x,y$ risultano scambiati fra loro.

Allora ci sara' qualche errore che ho commesso io! Facendo nuovamente i calcoli il risultato e' sempre lo stesso che ho trovato prima!

[giammaria]

Ecco i miei calcoli; considero la seconda equazione modificata come hai fatto tu e quindi parto da
${(cosx+cosy=-1),(2cos^2x-2cos^2y=2):}$
Posto $X=cosx$ e $Y=cosy$ e semplificando per 2 la seconda ho

${(X+Y=-1),(X^2-Y^2=1):}->{(X=-Y-1),(Y^2+2Y+1-Y^2=1):}->{(X=-1),(Y=0):}$
e quindi
${(cosx=-1),(cosy=0):}->{(x=pi+2kpi),(y=pi/2+hpi):}$

[Bad90]

Effettivamente i tuoi calcoli filano perfettamente!