Problema con teorema dei seni n.2

[first100]

Triangolo ABC con AB=10*sqrt(7) , sen A= 3/5 e cos C = - 3/4 Determinare i lati AC e BC
Risultato : AC= 2*(4*sqrt(7)-9) e BC=24

Io ho fatto cosi : conosco c e posso trovarmi gli angoli alfa, beta e gamma allora :
c= 10*sqrt(7)
alfa= arcsen 3/5 = 36,8°
beta= arccos -3/4 = 138,6 °
gamma = 180-(alfa+beta) = 4,6 °

poi faccio c/ sen (gamma) = a / sen (alfa) = b / sen (beta)

facendo i calcoli non mi escono i risultati del libro cosa sbaglio?
Grazie infinite volte

[giammaria]

Due giorni fa ti ho ammonito perché non usavi MathML; ora mantengo la promessa di bloccare il tuo Thread. Per questa volta, mi limiterò ad un blocco di circa 24 ore.

[giammaria]

Sblocco.

[minomic]

Allora abbiamo $\bar{AB}=10\sqrt{7}, \sin \hat{A} = \frac{3}{5}, \cos \hat{C} = -\frac{3}{4}$. Utilizziamo il teorema dei seni considerando come "coppia di riferimento" $\bar{AB} \rightarrow \hat{C}$. Il problema è che non abbiamo il seno di $\hat{C}$. Il coseno è negativo, quindi l'angolo sarà nel secondo o nel terzo quadrante. Il fatto però che stia dentro un triangolo implica che sia minore di $\pi$ quindi il suo seno sarà positivo. Dalla relazione fondamentale della trigonometria ricaviamo$$
\sin \hat{C} = \sqrt{1-\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}
$$Riesci a continuare da qui?

[Max321]

Buonasera riesumo questo post del lontano 2013, in quanto ho visto il problema era già stato posto e non aveva senso aprire un altro topic.

Sono riuscito a trovare il lato di 24 cm. A questo punto peró mi blocco nel trovare il terzo e ultimo.
Avreste qualche suggerimento?

[mgrau]

Puoi usare il teorema del coseno:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC*BC cos hatC -> AC = ....$
Vengono due valori, ma uno è negativo

[Max321]

Per come ho gli angoli e il triangolo mi manca sia il lato che AB che l’angolo in C quindi non riesco ad applicare Carnot

[sellacollesella]

Dato che due angoli sono univocamente determinati: \[
\sin\alpha=\dots,\quad\cos\alpha=\dots,\quad\quad\sin\gamma=\dots,\quad\cos\gamma=\dots
\] lo è pure il terzo, in quanto deve essere: \[
\pi=\alpha+\beta+\gamma \quad\Rightarrow\quad \pi-\beta=\alpha+\gamma \quad\Rightarrow\quad \sin(\pi-\beta)=\sin(\alpha+\gamma)
\] da cui ne consegue che: \[
\sin\beta=\sin\alpha\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma=\dots
\] Pertanto, essendo noto anche un lato, gli altri due si determinano tramite teorema dei seni.


P.S.: occhio che quel disegno non rispecchia i dati, un coseno negativo implica un angolo maggiore di 90°.

[Max321]

Grazie mille, ho capito l’errore del disegno e finalmente ho un “trucco” per esprimere il terzo angolo a cui non avevo pensato.

Davvero grazie mille

[sellacollesella]

Finalmente ho un “trucco” per esprimere il terzo angolo a cui non avevo pensato.

È lo stesso di quattro giorni fa: click. Buono studio, ciao!