Senx-cosx

[Pigreco93]

il mio dubbio nasce da questo

[minomic]

Sinceramente non avrei mai fatto una cosa del genere. Avrei semplicemente detto che quella funzione è il rapporto tra una quantità comunque limitata e una che tende all'infinito, quindi il limite fa $0$. Fine.

[giammaria]

Concordo con minomic: quel limite poteva essere calcolato molto più rapidamente. In altri esercizi però la formula in questione può essere utile e, anche se le dimostrazioni che ti sono state date sono indubbiamente le più veloci, capisco che tu ti chieda "Come hanno fatto a farsele venire in mente?".
C'è un metodo possibile ogni volta che si ha una formula del tipo $asenx+ b cosx$ ma comodo solo quando $a/b$ (senza badare ad ordine o segno) è la tangente di un angolo speciale: si mette in evidenza $sqrt(a^2+b^2)$. Per illustrarlo svolgo anche un altro esercizio.
$sinx-cosx=sqrt2(1/sqrt2senx-1/sqrt2cosx)=sqrt2(c ospi/4senx-senpi/4cosx)=sqrt2sen(x-pi/4)$
$senx+sqrt3cosx=2(1/2senx+sqrt3/2cosx)=2(c ospi/3senx+senpi/3c osx)=2sen(x+pi/3)$
Questo metodo è molto usato nella soluzione delle equazioni goniometriche lineari; ti conviene ripassarle.

[Pigreco93]

Sinceramente non avrei mai fatto una cosa del genere. Avrei semplicemente detto che quella funzione è il rapporto tra una quantità comunque limitata e una che tende all'infinito, quindi il limite fa $0$. Fine.

si concordo,però il libro dice di individuare la risposta corretta e darne un'esauriente spegazione
ecco il continuo

[Pigreco93]

Concordo con minomic: quel limite poteva essere calcolato molto più rapidamente. In altri esercizi però la formula in questione può essere utile e, anche se le dimostrazioni che ti sono state date sono indubbiamente le più veloci, capisco che tu ti chieda "Come hanno fatto a farsele venire in mente?".
C'è un metodo possibile ogni volta che si ha una formula del tipo $asenx+ b cosx$ ma comodo solo quando $a/b$ (senza badare ad ordine o segno) è la tangente di un angolo speciale: si mette in evidenza $sqrt(a^2+b^2)$. Per illustrarlo svolgo anche un altro esercizio.
$sinx-cosx=sqrt2(1/sqrt2senx-1/sqrt2cosx)=sqrt2(c ospi/4senx-senpi/4cosx)=sqrt2sen(x-pi/4)$
$senx+sqrt3cosx=2(1/2senx+sqrt3/2cosx)=2(c ospi/3senx+senpi/3c osx)=2sen(x+pi/3)$
Questo metodo è molto usato nella soluzione delle equazioni goniometriche lineari; ti conviene ripassarle.

ok grazie purtroppo questo metodo non lo conoscevo..

[@melia]

Perché affidarsi solo ad ardite ( ) manipolazioni ? Esistono anche le formule di prostaferesi :
$\sinp-\sinq=2\sin((p-q)/2)\cos((p+q)/2)$
Nel caso nostro è :
$\sinx-\cosx=\sinx-\sin(\pi/2-x)=2\sin((x-(\pi/2-x))/2)\cos((x+(\pi/2-x))/2)=$
$=2\sin(x-\pi/4)\cos(\pi/4)=\sqrt2\sin(x-\pi/4)$