Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda Palliit » 10/06/2015, 19:47

Come da titolo, per fornire ai maturandi 2015 in vista dell'ormai imminente II prova un'occasione di autoverifica e di esercizio. Buon lavoro!

Questionario 1.

1. Risolvere il seguente problema di Cauchy: $\{(y'-y=e^x),(y(0)=1):}$.

2. Il grafico sottostante rappresenta l’andamento della densità di probabilità $f(x)$ di una variabile aleatoria $X$ libera di assumere valori compresi nell’intervallo $[0,2]$ .Dopo aver scritto l’espressione della funzione $f(x)$, determinare il valor medio $mu$ di $X$ e la sua varianza $sigma^2$, e calcolare infine la probabilità che il valore della v. a. $X$ risulti compreso tra $mu-sigma$ e $mu+sigma$.
Immagine

3. Nei mesi di Luglio e Agosto dello scorso anno, a Marrakech (Marocco) c’è stato un solo giorno di pioggia; nello stesso periodo, a Vienna ci sono stati complessivamente 24 giorni in cui è piovuto.
Supponendo di soggiornare 10 giorni durante tale bimestre del corrente anno in una delle due località, calcolare la probabilità che nel corso della permanenza piova per non più di un giorno sia a Marrakech sia a Vienna.

4. Su una particella, animata di moto rettilineo, agisce una forza parallela al moto la cui componente $F$ rispetto ad un sistema di ascisse $x$ fissato sulla retta su cui si muove la particella varia secondo la legge: $F(x)=100*x*sinx$ (con l’intesa che le ascisse siano espresse in metri e la componente della forza in newton). Calcolare il lavoro compiuto dalla forza tra le ascisse $x=0$ ed $x=pi$.


5. Fra tutti i coni circolari retti aventi il medesimo apotema $a$ si determini quello di volume massimo..


6. Determinare tutte le funzioni $f(x)$ per le quali si ha: $f'(x)=2x*f(x)$ .


7. Dedurre, nel modo che si ritiene più opportuno, la formula per calcolare il volume di un tronco di cono avente raggi di base $R$ e $r$ ed altezza $h$.


8. Sia $P(x)$ una funzione razionale intera di terzo grado in $x$ tale che la curva $gamma$ di equazione: $y=P(x)$ abbia due estremi relativi nei punti $O(0,0)$ ed $A(2,2)$ . Dopo aver determinato $P(x)$ , si dimostri che la curva $gamma$ possiede un flesso collocato nel punto medio tra i due punti estremi.


9. Nella seguente funzione: $f(x)=\{(x+1," se "x<=0),(ax^2+bx+c," se "x>0):}$ determinare i coefficienti reali $a$, $b$, $c$ in modo che $f(x)$ soddisfi le ipotesi del Teorema di Rolle nell’intervallo $[-1,3]$ .


10. Dimostrare, usando il metodo che si ritiene più opportuno, che l’equazione: $2x^3*e^(-x)-3=0$ non ammette soluzioni reali.
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 10/06/2015, 20:24

Grazie mille Pallit, un grande servizio!
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 10/06/2015, 22:48

Se possibile inserisco la "mia" soluzione di alcuni esercizi in spoiler in modo da poter aprire delle discussioni

ESERCIZIO 01

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La equazione differenziale è lineare del primo ordine, cioè del tipo

$y'+a(x)y=f(x)$

con $a(x)=-1$ e $f(x)=e^x$

per cercare le soluzioni trovo una primitiva qualsiasi di $a(x)$

$A(x)=int a(x) dx=-x$

e la soluzione sarà

$y=e^(-A(x)) ( int e^(A(x)) f(x) dx+c)$

cioè sostituendo

$y=e^x(int e^(-x)e^xdx+c)$

cioè

$y=e^x(x+c)$

Applicando la condizione iniziale del problema ricavo $c=1$ da cui la curva che rappresenta la soluzione del problema

$y=e^x(x+1)$
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 10/06/2015, 23:22

ESERCIZIO 04

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il lavoro è per definizione

$L=int F(x)dx$

$L=100 int_0^(pi) x sinx dx=$ (integrando per parti)

$=100( (-xcosx)_0^(pi) + int_0^(pi) cosx dx)=$

$= 100 (pi + (sinx)_0^(pi))=$

$=100 pi$ Joule
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 10/06/2015, 23:36

ESERCIZIO 05

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il volume di un cono circolare retto è

$V=1/3 pi r^2 h$ dove $r$ è il raggio di base e $h$ è la altezza

applico il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo formato da altezza (cateto), raggio di base (cateto) e apotema (ipotenusa) e ottengo la relazione

$r^2=a^2-h^2$

Il volume risulta così essere una funzione della altezza

$V=1/3 pi h (a^2-h^2)$

la cui derivata è

$V'=1/3 pi(a^2-3h^2)$

per ottenere il volume massimo cerco i valori di $h$ che annullano la derivata prima

$a^2-3h^2=0$

ottenendo

$h=a/sqrt3$

Il volume massimo cercato risulta allora essere

$V=pi/(3sqrt3) a(a^2-1/3 a^2)=$

$=(2pi)/(9sqrt3) a^3$

Per controllare che il valore della altezza trovato sia effettivamente un massimo vado ad applicare il metodo delle derivate successive

$V''=-2 pi h$

sostituendo la altezza $h=a/sqrt3$ abbiamo una derivata seconda negativa, il che ci assicura che siamo effettivamente in presenza di un massimo della funzione $V(h)$
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 11/06/2015, 00:02

ESERCIZIO 06

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Si tratta una equazione differenziale a variabili separabili

per semplicità chiamiamo $y=f(x)$

$y'=2x y$

$(dy)/(dx)=2x y$

$(dy)/y = 2x dx$ (integrando ambo i membri)

$int (dy)/y = int 2x dx$

$ln |y| = x^2 + c$

$y=+-e^(x^2+c)=+-e^(x^2) e^c$

e chiamando $k=+-e^c$ (con $k in RR$) otteniamo la famiglia di curve

$y=k e^(x^2)$

si può notare che si tratta di una famiglia di funzioni pari
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda Palliit » 11/06/2015, 07:56

Un appunto rispetto a
mazzarri ha scritto:ESERCIZIO 06

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il valore assoluto che compare qua:
mazzarri ha scritto:$ln |y| = x^2 + c$
che fine ha fatto nel seguito?
E poi (ma magari non è una questione del tutto svincolata dalla precedente...): se sottintendi che sia $c in RR$, allora è: $c_1>0$, il che è riduttivo.
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 11/06/2015, 11:37

ESERCIZIO 09

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il Teorema di Rolle afferma che se una funzione è

1) continua in un intervallo $(a,b)$
2) derivabile in $)a,b($
3) tale che $f(a)=f(b)$
allora è possibile trovare un punto $C$ appartenente ad $(a,b)$ tale che $f'(C)=0$

Per la funzione in oggetto verifichiamo le tre ipotesi del Teorema passo passo

1) continuità: l'unico punto a dubbio di continuità è $x=0$. Dato che $f(0)=1$ deve essere anche

$lim_(x->0^+) y = c =1$

per cui la prima condizione ci porta ad affermare che $c=1$

2) derivabilità: l'unico punto a dubbio di derivabilità è $x=0$. Si deve imporre che in tale punto non ci siano punti angolosi o cuspidi. per fare questo deriviamo la funzione

$y={(1 ),(2ax+b ):}$

e imponiamo

$lim_(x->0^-) y' = 1 = lim_(x->0^+) y' = b$

per cui la seconda condizione ci porta ad affermare che $b=1$

3) $f(a)=f(b)$ con $(a,b)=(-1,3)$

Adesso la funzione è

$y={(x+1 ),(ax^2+x+1 ):}$

e abbiamo banalmente

$f(-1)=0=f(3)=9a+4$

e la terza condizione ci porta a concludere che $a=-4/9$

In definitiva affinchè il Teorema di Rolle sia soddisfatto deve essere

${(a=-4/9),(b=1),(c=1):}$

Come aggiunta, anche se non espressamente richiesto, si può trovare il punto $C$ previsto da tale Teorema

Se

$y={(x+1 ),(-4/9x^2+x+1 ):}$

allora

$y'={(1 ),(-8/9x+1 ):}$

e l'unico valore per cui $y'=0$ si ha per $x=9/8$ corrispondente al punto

$C(9/8,25/16)$
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 11/06/2015, 11:57

Palliit ha scritto:Un appunto rispetto a ESERCIZIO 06


Grazie Palliit mi era sfuggito, ho modificato il testo spero di aver "risolto" :-D

Grazie ancora a te per questa iniziativa
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 11/06/2015, 12:39

PROBLEMA 10

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Come "strategia" decido di studiare la funzione

$y=2x^3e^(-x)$

dominio: $AA x in RR$

$lim_(x->+infty) y= 0$
$lim_(x->-infty) y= -infty$

$y'=2x^2e^(-x) (3-x)$

$y''=2xe^(-x) (x^2-6x+6)$

$y'''=2e^(-x) (-x^3+9x^2-18x+6)$

Punti stazionari in

$O(0,0)$ e $A(3,54 e^(-3))$

Con il metodo delle derivate successive verifico che $O(0,0)$ è un flesso a tangente orizzontale ($y'''(0)!=0$) e che il punto $A$ è un massimo

Flessi in $x=3+-sqrt3$

Da notare che

$y_A=54 e^(-3)=2.688$

è il massimo assoluto della funzione

Dal grafico della funzione (che allego) deduco che essa è SEMPRE < 3 il che ci porta a dedurre che la equazione

$2x^3e^(-x)=3$

non ha soluzioni c.v.d.
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