Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 13/06/2015, 12:24

ESERCIZIO 13

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La funzione si può scrivere come

$y={(x^2-2 , x>=0),(-x^2-2 , x<0):}$

devo calcolarne il valor medio nell'intervallo $(-1,3)$

$mu=1/4 (int_(-1)^0 (-x^2-2)dx+int_0^3 (x^2-2)dx)$

$mu=1/6$

è il valore cercato corrispondente a

$x_m = sqrt(13/6)$
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 13/06/2015, 13:37

Palliit ha scritto:L'integrale diventa immediato effettuando la sostituzione


è vero... grazie!
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 13/06/2015, 19:04

ESERCIZIO 16

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
L'area di un triangolo equilatero di lato $a$ è

$A=sqrt3/4 a^2$

Nel nostro caso l'area di un qualunque triangolo equilatero che in sezione va a formare il solido è

$A=sqrt3/4 x$

(dato che il lato è $a=sqrtx$)

Per ottenere il volume del solido devo integrare questa area tra 0 e 2 ottenendo

$V=sqrt3/4 int_0^2x dx= sqrt3/2$
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 13/06/2015, 20:30

ESERCIZIO 17

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La accelerazione è la derivata prima della velocità. Quindi se

$a=-kv^2$

allora

$(dv)/(dt)=-kv^2$ (separando le variabili)

$int (dv)/v^2=-k int dt$

$-1/v=-kt+c_1$

la costante di integrazione $c_1$ la si può ricavare dalla condizione iniziale $v(0)=4$ che porta a $c_1=-1/4$

La espressione della velocità sarà allora

$v(t)=4/(4kt+1)$

e possiamo subito rispondere alla domanda conclusiva

$v(2)= 4/5=0.8$ m/s

Integrando ancora otteniamo la legge oraria del moto

$(dx)/(dt)=4/(4kt+1)$

$x(t)= int (4 dt)/(4kt+1)$

$x(t)=1/k ln |4kt+1|+c_2$

Non è data dal problema la seconda condizione iniziale da porre per poter ricavare la seconda costante di integrazione $c_2$

Il modulo nella espressione della legge oraria può anche essere sostituito da delle semplici parentesi racchiudendo una quantità sempre positiva
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 13/06/2015, 21:37

ESERCIZIO 18

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Le due condizioni iniziali si traducono in

1) $lim_(t->infty) P(t)= P_0 = 100$W

2) $P'(t) = P_0/tau e^(-t/tau)$

da cui deriva

$P'(0)= P_0/tau=25$W/s

da cui

$tau=100/25=4$s

A questo punto la formula da utilizzare è quella che lega fra loro potenza (P) e lavoro (L)

$P=(dL)/(dt)$

da cui

$L=int P(t) dt$

e nel nostro caso il lavoro fra il tempo t=0 e il tempo t=4 è dato da

$L=P_0 int_0^4 (1-e^(-t/tau))dt=$

$=P_0 int_0^4 dt - P_0 int_0^4 e^(-t/tau) dt=$

$=P_0 (t)_0^4 + P_0 tau (e^(-t/tau))_0^4=$

$=4P_0 + tau P_0 (e^(-4/tau)-1)$

Il lavoro richiesto allora sarà

$L=400/e=147.15$J
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 13/06/2015, 23:27

ESERCIZIO 02

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La variabile x è distribuita in modo continuo

Assumo uguale a 1 (probabilità del 100%) l'area sottesa dalla curva in esame che è una retta passante per l'origine del tipo $y=kx$. Avremo

$1=int_0^2 kx dx= 2k$

da cui

$k=1/2$

e la distribuzione di probabilità sarà data dall'espressione

$p(x)=1/2 x$

Per definizione media e varianza sono dati da

$mu=int_0^2 x p(x) dx$

$sigma^2= int_0^2 (x-mu)^2 p(x) dx$

e avremo risolvendo gli integrali

$mu=int_0^2 x 1/2 x dx=4/3$

$sigma^2= int_0^2 (x-4/3)^2 1/2 x dx=2/9$

La deviazione standard è

$sigma=sqrt2/3$

Per concludere i valori richiesti di $mu-sigma$ e $mu+sigma$ corrispondono a

$mu-sigma=(4-sqrt2)/3$

$mu+sigma=(4+sqrt2)/3$

e la probabilità cercata è

$p = int_((4-sqrt2)/3)^((4+sqrt2)/3) p(x) dx = 4/9 sqrt2 = 62.8%$
Ultima modifica di mazzarri il 14/06/2015, 11:20, modificato 1 volta in totale.
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda Palliit » 14/06/2015, 10:31

@mazzarri:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
del quesito 02 è corretto lo svolgimento. Unica osservazione: imporre la condizione di normalizzazione ed il calcolo della probabilità conclusivo si riducono ai calcoli dell'area rispettivamente di un triangolo rettangolo e di un trapezio rettangolo, per i quali si può fare a meno di ricorrere ad integrali.
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 14/06/2015, 11:19

Palliit ha scritto:@mazzarri:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
del quesito 02 è corretto lo svolgimento. Unica osservazione: imporre la condizione di normalizzazione ed il calcolo della probabilità conclusivo si riducono ai calcoli dell'area rispettivamente di un triangolo rettangolo e di un trapezio rettangolo, per i quali si può fare a meno di ricorrere ad integrali.


Forza dell'abitudine... grazie 1000!!
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 14/06/2015, 17:47

post eliminato
Ultima modifica di mazzarri il 15/06/2015, 10:23, modificato 1 volta in totale.
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda xAle » 14/06/2015, 17:53

Grazie Palliit, questa sera dedicherò qaulche ora per testare le mie capacità. Magari scopro di essere più bravo del sapiente mazzarri in questa "nuova" matematica liceale chissà... :-D
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