Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda Palliit » 21/03/2016, 12:20

Quesito 19.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Suddividiamo le $8$ ore di apertura dello sportello in $32$ quarti d'ora. La probabilità che in un quarto d'ora scelto a caso una persona entri nell'ufficio è: $" "p=4/32=1/8$, e viste le caratteristiche del problema (evento poco probabile che può verificarsi in un numero piuttosto grande di ripetizioni della prova) si può giustificare per la variabile aleatoria $N=$"numero di persone che entrano in un quarto d'ora scelto a caso" una distribuzione di Poisson (vedere precedente quesito, il n° 3) con parametro: $lambda=<N>"="1/8$.
Con tale scelta, la prima probabilità richiesta vale:

$P[N=2]=p(2)=(1"/"8)^2/(2!)*e^(-1"/"8)approx0.0069=0.69%$


e la seconda è:

$P[N>2]=1-[p(0)+p(1)+p(2)]=1-[e^(-1"/"8)+1/8*e^(-1"/"8)+p(2)]$

$approx 1-(0.8819+0.1102+0.0069) = 1-0.9990=0.0010=0.10%$
.
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda Palliit » 21/03/2016, 15:49

Quesito 15.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La costante $k$ si determina imponendo la condizione di normalizzazione: $int_0^(+oo)f(t)dt=1" $; calcoliamo l’integrale improprio a primo membro:

$ int_0^(+oo)k/(t+2)^2dt=lim_(M to +oo) int_0^M k/(t+2)^2dt= lim_(M to +oo) int_2^(M+2) k/z^2dz=$


$= lim_(M to +oo)k* [-1/z]_2^(M+2)= lim_(M to +oo) k*(1/2-1/(M+2))=k/2$,

(avendo posto: $z=t+2$) $" "$da cui: $" "k/2=1" "to" "k=2" "$ .

A questo punto è calcolabile la probabilità richiesta:

$P[T>=2]=1-P[T<2]=1-2*int_0^2 dt/(t+2)^2=1-2*int_2^4 dz/z^2=$

$=1-2*[-1/z]_2^4=1-2*(-1/4+1/2)=1/2$ .


Detto $t_0$ il tempo infine richiesto, si impone che la probabilità teorica $P[T>t_0]$ corrisponda a quella frequentistica:

$int_(t_0)^(+oo)f(t)dt=100/1000=1/10$;


quindi:

$P[T>t_0]=1-P[T<=t_0]=$

$=1-int_0^(t_0)f(t)dt=1-2*int_2^(t_0+2)(dz)/z^2=1-[-2/z]_2^(t_0+2)=1-(-2/(t_0+2)+1)=2/(t_0+2)$;

uguagliando:

$2/(t_0+2)=1/10" "to" " t_0+2=20" "to" " t_0=18$,


che corrisponde (visti le unità di misura ed il significato della variabile $T$) ad una durata complessiva di $(1000+18*100)$ ore $=2800$ ore.
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda Palliit » 07/03/2018, 19:52

Visto che è ancora uscita Mate in seconda prova insisto:

QUESTIONARIO 3.pdf
(337.89 KiB) Scaricato 61 volte


Ovviamente sono domande che vertono sulle parti di programma presumibilmente svolto fino al momento attuale, ne manca ancora una bella fetta.
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda LoreT314 » 07/03/2018, 22:11

Bello quello della formula di Eulero :-D
Non so se posso ma posto in spoiler come lo farei.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Allora prima cosa direi di dimostrare che il dominio della funzione è tutto il campo reale. Questo è vero poiché $e^(ix) !=0, AA x in RR$
Ora se riusciamo a dimostrare che $f(x) =1, AA x in RR$ ne ci seguirebbe l'identità di Eulero. Dobbiamo dimostrare quindi due cose:
1)$f$ è costante in $RR$
2)$f(a)=1$ con $a in RR$

1)Calcoliamo $f'(x) =((-sinx+icosx)e^(ix) - (cosx+isinx)ie^(ix)) /e^(2ix) =0$ Abbiamo così dimostrato che è costante.
2)Ci basta ora prendere un valore a caso dei reali e vedere che è uguale ad 1. Per il punto 1) è garantito che per ogni altro valore la funzione varrà sempre uno. Prendiamo per comodità 0.
$f(0)=(cos0+isin0) /e^0=1$
cvd (spero di non aver scritto castronerie :-D)
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda Palliit » 07/03/2018, 23:04

Ovvio che puoi :wink:
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda Palliit » 08/03/2018, 19:34

@LoreT314 se posso permettermi un appunto:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
LoreT314 ha scritto:... il dominio della funzione è tutto il campo reale. Questo è vero poiché $e^(ix) !=0, AA x in RR$

ho l'impressione che tu abbia concluso che l'esponenziale non è mai nulla perché avevi in mente quella ad esponente reale, in effetti è: $e^x!=0$ $forall x in RR$, ma questo garantisce che lo sia anche per esponenti complessi? Per il resto direi che va benissimo.
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda LoreT314 » 08/03/2018, 22:19

In realtà ci avevo pensato ma la dimostrazione che ho pensato secondo me ha un errore
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Posso scrivere $ e^(ix) =(e^x) ^i$
Ora se chiamo $e^x=a$ ho la garanzia che$ a $sia sempre positivo. Ora ho $a^i$ che è sempre diverso da 01 di conseguenza non si annulla mai neanche $e^(ix) $.

Note

  1. qui probabilmente andrebbe dimostrato, ma il modo in cui lo dimostrerei farebbe ricorso al fatto che, dato $z=a+ib$ vale che $||e^z||=e^a$, però mi sembra che questo sia dedotto proprio dall identità di Eulero)
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda Palliit » 08/03/2018, 22:47

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Calcola il modulo di $e^(ix)$.
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda LoreT314 » 09/03/2018, 08:20

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$||e^(ix) ||=||e^(0+ix)||=e^0=1$
Io lo so calcolare solo così, però credo che questo modo di calcolarlo derivi proprio dall identità di Eulero e quindi non possa essere usato. Correggetemi se sbaglio
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda Palliit » 09/03/2018, 09:15

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$|e^(ix)|^2=e^(ix)*e^(-ix)=e^0$
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