Domande sugli integrali

[Myriam92]

Bonsoir, ho ripreso la parte teorica degli integrali, coi relativi es. svolti a titolo di esempio...ma mi son sorti dei dubbi in alcuni passaggi:
$inte^xsenx(dx)$ nell'integrarlo per parti non capisco perchè giunti qui:
$int senxe^x(dx)=senxe^x-cosxe^x int senx e^x(dx)$
=$ 2 int senxe^x(dx)=senxe^x-cosxe^x+c$ salta fuori due, e il contenuto dell'integrale sparisce?

Poi in uno con le sostituzioni:
$int cos sqrtx (dx)$ in cui $sqrtx=t$ perchè, ad un certo punto:
$2 int tcost(dt)$
=$2(tsent+cost)$ stiamo integrando per parti ok, ma che c'entra $cost$? sempre se, a quanto ho capito il $sent$ è integrazione di $cost$........
spero di essere stata chiara, non sono molto pratica nemmeno con ste nuove formule

[axpgn]

$int e^x*sinx\ \ dx\ =\ e^x*sinx-int e^x*cosx\ \ dx\ =\ e^x*sinx-e^x*cosx-int e^x*sinx\ \ dx$

... e ti sembra di essere tornata al punto di partenza ... in effetti è così ma non è stata fatica inutile ...

Poni $int e^x*sinx\ \ dx\ =\ a$, allora possiamo riscrivere il tutto così ...

$a=e^x*sinx-e^x*cosx-a$ ... da cui ... $2a=e^x*sinx-e^x*cosx\ ->\ a=(e^x*sinx-e^x*cosx)/2$

.... adesso basta rimettere l'integrale al posto di $a$ ...

$int e^x*sinx\ \ dx\ =(e^x*sinx-e^x*cosx)/2$ ... e voilà, il gioco è fatto ...

[axpgn]

$int cos (sqrtx)\ \ dx$

Poniamo $sqrt(x)=t$ da cui $x=t^2$ e quindi $dx=2t\ dt$ perciò sostituendo $int cos(t)*2t\ \dt\ =2*int cos(t)*t\ \dt$

... adesso puoi risolvere per parti ...

$2*int cos(t)*t\ \dt\ =2*[t*sint-int sin(t)\ \dt\ ]=2*[t*sint+cos(t)]$

[Myriam92]

Grazie Alex pensavo avessi già staccato, quindi ero già andata a letto, li rivedo domani... Buonanotte !

[axpgn]

Anch'io pensavo di essere già andato a letto ...

Buona Notte, Alex

EDIT: ho modificato alcuni segni ...

[Myriam92]

$ int e^x*sinx\ \ dx\ =\ e^x*sinx-int e^x*cosx\ \ dx\ =\ e^x*sinx-e^x*cosx-int e^x*sinx\ \ dx $

... e ti sembra di essere tornata al punto di partenza ... in effetti è così ma non è stata fatica inutile ...

Poni $ int e^x*sinx\ \ dx\ =\ a $, allora possiamo riscrivere il tutto così ...

$ a=e^x*sinx-e^x*cosx-a $ ... da cui ... $ 2a=e^x*sinx-e^x*cosx\ ->\ a=(e^x*sinx-e^x*cosx)/2 $

.... adesso basta rimettere l'integrale al posto di $ a $ ...

$ int e^x*sinx\ \ dx\ =(e^x*sinx-e^x*cosx)/2 $ ... e voilà, il gioco è fatto ...

...quindi mi hai avvertita prima, per una modifica apportata il giorno dopo?


$ 2*[t*sint-int sin(t)\ \dt\ ]$
se tu mi dici che io qua devo risolvere per parti, seguendone la formula, non dovrei mettere solo $f(x)*g(x)-$ prima del simbolo dell'integrale? Perchè invece, prima dell'integrale, appare $sent$(quindi viene integrato)?

sempre un altro es. di sostituzione
$int sqrt( e^x-1)\ \ dx\ $ si pone $t=sqrte^x-1$ ottenendo di conseguenza determinati valori di $e^x, x, dx$...che riporto direttamente nei passaggi seguenti:
$intt*(2t)/(t^2+1)\ \ dt\ = 2 int(t^2+1-1)/(t^2+1)\ \ dt\ $ come puo' diventare $2[t-arctg t] $se quest'ultimo puo' essere ottenuto solo da $int1/(1+f(x)^2)*f'(x)\ \dx\ $
c'è una derivata che non vedo(dt?)? E Perchè$t^2$diventa $t$?
scusami mi sento molto disorientata...........

[axpgn]

Beh, gli integrali sono una cosa seria, fino adesso abbiamo scherzato ...

$ 2*[t*sint-int sin(t)\ \dt\ ] $
se tu mi dici che io qua devo risolvere per parti, seguendone la formula, non dovrei mettere solo $ f(x)*g(x)- $ prima del simbolo dell'integrale? Perchè invece, prima dell'integrale, appare $ sent $(quindi viene integrato)?

Non ho capito niente ... magari la rifaccio passo per passo ...

In questo $ int sqrt( e^x-1)\ \ dx\ $, mi sembra che hai fatto la sostituzione come si deve (che è la cosa difficile ... ) ma poi ti sei persa sul facile ...

Questo $ 2 int(t^2+1-1)/(t^2+1)\ \ dt\ $ è uguale a questo $ 2 int [(t^2+1)/(t^2+1)-1/(t^2+1)]\ \ dt\ $ da cui $ 2 int(t^2+1)/(t^2+1)\ \ dt\ -2int 1/(t^2+1)\ \ dt\ $, ok ? (ho messo le parentesi quadre solo per chiarezza ...)

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...quindi mi hai avvertita prima, per una modifica apportata il giorno dopo?

È un po' più complicato di così ... ... cmq l'EDIT l'ho messo DOPO le modifiche ...

[Myriam92]

Certo ho sostituito correttamente perché ti ricordo che l es è svolto per essere più schematica.. ho inserito la formula dell'integrazione per parti sopra il tuo passaggio aggiuntivo . Il mio dubbio sta nel perché g(x) non resta $cost$ ma diventa $sen t$?

$ 2 int(t^2+1)/(t^2+1)\ \ dt\ -2int 1/(t^2+1)\ \ dt\ $ qui invece $int (t^2+1)/(t^2+1) $ che sarebbe 1, non è altro che la derivata di t, giusto?

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boh, a me dá il tuo post con l'edit , di stanotte (senza modifiche ) , ma la modifica ai post precedenti di stamattina

[axpgn]

Il mio dubbio sta nel perché g(x) non resta $cost$ ma diventa $sen t$?

Lo rifaccio passo passo quando ho più tempo così chiarisco alcune cose sull'integrazione per parti ...

$ 2 int(t^2+1)/(t^2+1)\ \ dt\ -2int 1/(t^2+1)\ \ dt\ $ qui invece $ int (t^2+1)/(t^2+1) $ che sarebbe 1, non è altro che la derivata di t, giusto?

Giusto.

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boh, a me dá il tuo post con l'edit , di stanotte (senza modifiche ) , ma la modifica ai post precedenti di stamattina

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Quando modifichi un post, viene apposta la data e l'ora della modifica ma solo se c'è stato un intervento dopo quel post; se non c'è niente puoi fare quello che vuoi del post (pure cancellarlo) e non rimane traccia ...

[axpgn]

Vogliamo risolvere per parti questo integrale ...

$2*int cos(t)*t\ \dt\ $

Io, una volta identificate la funzione da derivare e quella da integrare, faccio così ...

Pongo $u=t$ la funzione da derivare e $dv=cos(t)\ \ dt$ la funzione da integrare e mi faccio questo "schemino" ...

$((u=t,dv=cos(t)\ \ dt),(du=1\ \ dt,v=sin(t)))$

... da cui ... data la formula generale è $int uv' = uv - int u'v$ ... per cui ...

$2*int cos(t)*t\ \dt\=2[t*sin(t)-int sint*1\ \ dt\ ]$ ... ed in conclusione ... $2[t*sin(t)+cos(t)]$