Domande sugli integrali

[Myriam92]

$ int x sqrt( x^2+1)\ \ dx $

Poniamo $ t=sqrt(x^2+1) $ ...

Deriviamo $ dt=(2x)/(2sqrt(x^2+1))\ \ dx $ ...

un po' di fantasia ... $ dt=(x)/(sqrt(x^2+1))\ \ dx\ ->\ sqrt(x^2+1)\ \ dt=x\ \ dx $ ...

e ricordandoci che $ t=sqrt(x^2+1) $ otteniamo $ t\ \ dt=x\ \ dx $ ...

Adesso sostituiamo opportunamente nell'integrale $ int sqrt( x^2+1) * x\ \ dx=int t*t\ \ dt= int t^2\ \ dt $ ...

Sembra semplice ma... Nemmeno mi aspettavo di poter trarre quella conseguenza nel tuo passaggio "fantastico "... Nel senso, nonimmaginavo potesse essere lecito..

Ah, cmq resto del parere che se il delta vale.zero, avendo una doppia soluzione uguale e coincidente... Tutti quei denominatori debbano essere elevati al quadrato...

Qui mi riferisco a questo

Un quoziente di polinomi si può sempre scomporre in una somma di frazioni ("scomposizione in fratti semplici"); si può dimostrare che un polinomio si può sempre scomporre in un prodotto i cui fattori sono polinomi di primo e/o secondo grado; quando avrai scomposto il denominatore in questo modo dovrai scrivere un addendo del tipo Ax+p per quelli di primo grado e del tipo Bx+Cx2+qx+r per quelli di secondo grado,

Vorrei sapere se $ int x/(2-x)$ lo possiamo scomporre come.$int x * int 1/(2-x)$

...e cosa sbaglio nel calcolo di quest'area? Grazie mille

La parte tagliata ( quando mai) è $-e^2+2$ che sommato a -4 non risulta...

[axpgn]

Nel senso, nonimmaginavo potesse essere lecito..

Questo è un argomento delicato ... quei $dx, dt, ...$ in verità sarebbero solo dei simboli non dei "numeri" e quindi non sarebbe lecito trattarli come tali però alcune cose si possono fare (perché esistono teoremi che permettono di stabilire per esempio l'equivalenza tra le uguaglianze che ho scritto); non saprei dirti esattamente quali però non sono tante ... facendo esercizi diventeranno più naturali ...

Vorrei sapere se $ int x/(2-x) $ lo possiamo scomporre come.$ int x * int 1/(2-x) $

No, non puoi ... l'integrale è "lineare" (nel senso che $int (a+b)=int a +int b$ ma non "quello" ... (d'altra parte prova a calcolarli e vedrai che sono diversi)

-/-

[axpgn]

Le funzioni sarebbero $g(x)=-2x$ e $f(x)=-e^x+1$ ?

Beh, per la parte di sinistra basta fare $(2*4)/2=4$ ...

Per l'altra hai $int 1-e^x\ \ dx= int 1\ \ dx - int e^x\ \ dx =x-e^x$

Sostituendo i valori degli estremi abbiamo $2-e^2-0+1=3-e^2$, e sommando l'altra parte abbiamo in totale $7-e^2$

[Myriam92]

Le funzioni sarebbero $g(x)=-2x$ e $f(x)=-e^x+1$ ?

Beh, per la parte di sinistra basta fare $(2*4)/2=4$ ...

Per l'altra hai $int 1-e^x\ \ dx= int 1\ \ dx - int e^x\ \ dx =x-e^x$

Sostituendo i valori degli estremi abbiamo $2-e^2-0+1=3-e^2$, e sommando l'altra parte abbiamo in totale $7-e^2$

Perché risulta 4 e non -4? C'entra qualcosa col quadrante con semiasse negativo?
Cosa sono$ -0+1$? Che estremi!?

$ int x/(2-x) $ questo allora come lo risolviamo? Somma di che, se è tutto prodotto!?


$ (x+1)/(x+1/2)^2= A/(x-1/2)+B/(x+1/2)^2 $ torno a questo, e ti ripeto che secondo me visto che la equazione originaria al denominatore di questo $ int(3x+3)/(4x^2-4x+1) \dx\ $ ha delta zero, quindi risultato doppio, va elevato al quadrato SEMPRE Nel denominatore delle frazioni qui sopra... Quindi anche nella seconda!! Ma.invece perché non è così!? Scusa se continuo a non capire......

[axpgn]

Allora .. sempre in modo informale (premessa necessaria se no mi picchiano ... ), un integrale definito ti dà il valore dell'area compresa tra la curva (la funzione) in esame e l'asse delle ascisse e i due valori degli estremi $x_a=a$ e $x_b=b$ ... peccato che ciò non sia esatto ... nel senso che l'integrale definito ti dà la somma algebrica delle aree, considerando positiva quella "sopra" l'asse delle $x$ ma negativa quella "sotto" ... perciò se la "figura" di cui vuoi calcolare l'area ha dei "pezzi" anche sotto devi calcolare separatamente gli integrali definiti per i singoli pezzi sopra e per i singoli pezzi sotto e cambiando di segno quest'ultimi, per poi sommarli tutti.
Inoltre gli estremi di integrazione non sono intercambiabili e vale questa regola $int_b^a f(x)= -int_a^b f(x)$

Adesso lo rifaccio ...

Come detto calcolo separatamente le due aree (anche perché son due curve diverse e quindi non potrei comunque fare altrimenti ... )

L'area di sinistra:

$int_(-2)^0 -2x = -x^2|_(-2)^0=-(0)^2-(-(-2)^2)=4$

(quest'ultimo passaggio deriva da $F(0)-F(-2)$ dove $F(x)=-x^2$ è la primitiva dell'integranda)
Questo risultato me lo tengo così perché essendo la parte "sopra" è già positivo.

L'area di destra:

$int_0^2 1-e^x = x-e^x|_0^2=2-e^2-(0-e^0)=2-e^2-0+1=3-e^2$
Questo risultato invece, essendo relativo alla parte di "sotto", devo invertirlo di segno (perché negativo e un'area negativa non esiste) quindi l'area di destra vale $e^2-3$.

La somma delle due $1+e^2$ (prima ho sbagliato, sorry ... )

-/-

[axpgn]

$ int x/(2-x) $ questo allora come lo risolviamo? Somma di che, se è tutto prodotto!?

$int x/(2-x) = - int x/(x-2) = - int (x-2+2)/(x-2) = - int (x-2)/(x-2) - int 2/(x-2) = -x -2ln(x-2) $

-/-

[axpgn]

$ (x+1)/(x+1/2)^2= A/(x-1/2)+B/(x+1/2)^2 $ torno a questo, ... continuo a non capire......

È solo un fatto "tecnico", la scomposizione in "fratti semplici" ha delle regole ben precise (quello che ho sintetizzato brutalmente prima e che volendo si possono dimostrare).

Determiniamo $A$ e $B$

$x+1=A(x+1/2)+B\ ->\ 2x+2=2Ax+A+2B$ da cui ${(2=2A),(2=A+2B):}\ ->\ {(A=1),(B=1/2):}$

Quindi $(x+1)/(x+1/2)^2=1/(x+1/2)+1/(2(x+1/2)^2$

Verifichiamo se è vero ...

m.c.m.: $2(x+1/2)^2$

$2x+2=2(x+1/2)+1\ ->\ 2x+2=2x+1+1\ ->\ 2x+2=2x+2$

C.V.D.

[Myriam92]

La somma delle due 1+e2 (prima ho sbagliato, sorry ... )

Ehm, hai visto answer in basso alle risposte?( Anche se nn ti vorrei contraddire, in effetti anche questa risposta è tra le.possibili ) . Non capisco perché per la parte sx abbiamo tre segni meno quando penso ne basterebbero due!?

$ int x/(2-x) = - int x/(x-2) = - int (x-2+2)/(x-2) = - int (x-2)/(x-2) - int 2/(x-2) = -x -2ln(x-2) $
Qui il testo originale è $-int - x/(2-x)$ ma va bene lo stesso, no?

$ {(2=2A),(2=A+2B):}\ ->\ {(A=1),(B=1/2):} $
Perché qui mi hai calcolato a e b? Per dimostrarmi quell'eguaglianza finale? E che ci faccio? io ti credo, ma la domanda mia è un'altra, e finché non capisco perché si fa in quel modo non penso di poter andare molto avanti A meno che lo seguo sempre come calcolo standard.... Se so che la soluzione e doppia e coincidente, sotto A metto il valore al quadrato, e sotto B no....Ok?
EDIT B=3/2
EDIT 2 L'ultimA frase la intendevo al contrario

[axpgn]

Ehm, hai visto answer in basso alle risposte?( Anche se nn ti

vorrei contraddire, in effetti anche questa risposta è tra le.possibili )

Eh, sì che le ho viste, purtroppo ... mi sono dimenticato di invertire il segno della parte destra, ho visto che la soluzione era tra quelle possibili e non ho ricontrollato ...
È evidente che la risposta sulla foto è sbagliata (ma dove li hai presi gli esercizi?): se fai i conti il risultato di $7-e^2$ è negativo e l'area di una figura non può mai essere negativa ma ancor più semplicemente se l'area a sx vale $4$ come può il totale essere negativo?

Non capisco perché per la parte sx abbiamo tre segni meno quando penso ne basterebbero due!?

Come al mercato? Due etti bastano o facciamo tre?

Il teorema fondamentale dice $int_b^a f(x) = F(a)-F(b)$ dove $F$ è la primitiva di $f$

Applicandolo al nostro caso abbiamo $f(x)=-2x$, $F(x)=-x^2$, $a=0$ e $b=-2$

Calcoliamo: $F(a)=-(0)^2=0$, $F(b)=-(-2)^2=-4$ e quindi $F(a)-F(b)=0-(-4)=4$

Ok?

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Qui il testo originale è $ -int - x/(2-x) $ ma va bene lo stesso, no?

Yes

-/-

[axpgn]

$ {(2=2A),(2=A+2B):}\ ->\ {(A=1),(B=1/2):} $
Perché qui mi hai calcolato a e b? Per dimostrarmi quell'eguaglianza finale? E che ci faccio? io ti credo, ma la domanda mia è un'altra, e finché non capisco perché si fa in quel modo non penso di poter andare molto avanti A meno che lo seguo sempre come calcolo standard.... Se so che la soluzione e doppia e coincidente, sotto A metto il valore al quadrato, e sotto B no....Ok?

Sinceramente ho l'impressione che stiamo parlando di cose diverse ...
Io sto parlando della "scomposizione in fratti semplici" che è il metodo standard (ovvero "che funziona SEMPRE") quando hai un quoziente di polinomi; quando lo usi quello che devi fare è proprio determinare $A, B, C, ...$ e poi proseguire nella risoluzione ...
Quindi non sto capendo a cosa ti riferisci quando parli di "doppia soluzione", "metto il valore al quadrato" e via dicendo ... probabilmente ti stai riferendo a qualche altro percorso che non riesco a recepire ...

EDIT B=3/2

No, $B=1/2$ ... altrimenti non sarebbero tornati i conti ...