Problema su un triangolo

[Vincent]

Si considerino le seguenti misure

$
a+2x
a-x
2a-x
$
dove $a$ è una lunghezza nota non nulla e x è una incognita.

1)Determinare per quali valori di x le lunghezze sovracitate si possono considerare quelle di un triangolo non degenere.
Per risolvere questo ho utilizzato la proprietà del triangolo sui lati, ossia la somma di due lati è sempre maggiore del terzo, e quindi ho scritto
$a+2x < a-x + 2a-x$
E ho risolto la disequazione ottenendo $0<x<(a/2)$

2)Stabilire se tra i triangoli non degeneri, ce ne sia uno di area massima o minima
E questo non ho capito proprio come farlo, in teoria dovrei provare ogni singolo valore della x, e non riesco a trovare nessuna equazione che mi faccia trovare tale dato.
Ho però, con la formula di erone, trovato la formula dell'area che è
$sqrt(2ax(a+x)(a-2x))$, ma non so come andare avanti

3) Sia ABC il triangolo con le misure precedenti, in particolare $x = a/4$ e sia BC il lato maggiore. Si conduca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su esso un punto D tale ce AD sia lungo a: calcolare un valore approssiato a meno di un grato sessagesimale dell'ampiezza dell'angolo formato dai due piani DBC e ABC
Questo siamo a 0, non so proprio da dove partire.
sono riuscito perl a disegnare una circonferenza goniometrica di raggio A, e nididuato l'anglo, ma non sono riuscoito a trovare nessuna delle sue funzioni goniometriche, con le quali sarei sicuramente riuscito a trovare l'ampiezza di tale angolo.

[codino75]

per il quesito n.1 : nel testo non e' specificato che deve essere x>0.

[codino75]

per il quesito n.2: avete studiato la derivata?

[gelaci]

Si considerino le seguenti misure

$
a+2x
a-x
2a-x
$
dove $a$ è una lunghezza nota non nulla e x è una incognita.

1)Determinare per quali valori di x le lunghezze sovracitate si possono considerare quelle di un triangolo non degenere.
Per risolvere questo ho utilizzato la proprietà del triangolo sui lati, ossia la somma di due lati è sempre maggiore del terzo, e quindi ho scritto
$a+2x < a-x + 2a-x$
E ho risolto la disequazione ottenendo $0<x<(a/2)$

2)Stabilire se tra i triangoli non degeneri, ce ne sia uno di area massima o minima
E questo non ho capito proprio come farlo, in teoria dovrei provare ogni singolo valore della x, e non riesco a trovare nessuna equazione che mi faccia trovare tale dato.
Ho però, con la formula di erone, trovato la formula dell'area che è
$sqrt(2ax(a+x)(a-2x))$, ma non so come andare avanti

3) Sia ABC il triangolo con le misure precedenti, in particolare $x = a/4$ e sia BC il lato maggiore. Si conduca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su esso un punto D tale ce AD sia lungo a: calcolare un valore approssiato a meno di un grato sessagesimale dell'ampiezza dell'angolo formato dai due piani DBC e ABC
Questo siamo a 0, non so proprio da dove partire.
sono riuscito perl a disegnare una circonferenza goniometrica di raggio A, e nididuato l'anglo, ma non sono riuscoito a trovare nessuna delle sue funzioni goniometriche, con le quali sarei sicuramente riuscito a trovare l'ampiezza di tale angolo.

Io metterei, intanto, la condizione che i lati abbiano misura positiva: $-a/2<x<a

Poi, il fatto che ogni lato è minore della somma degli altri due...

[Vincent]

si, abbiamo fatto la derivata.

[codino75]

si, abbiamo fatto la derivata.

se consideriamo un intervallo aperto (x1,x2)
i valori della x , che siano posti all'interno di detto intervallo e che rendono max (o min) l'espressione f(x) si trovano certamente tra gli zeri di f'(x), dove con f'(x) si intende la derivata prima di f(x) rispetto ad x.
il risultato precedente vale qualora la f(x) sia continua e derivabile.

spero di essere stato abbastanza preciso.
se dubbi posta.

[karl]

La limitazione 0 < x < a/2 e' esatta.Essa pero' deve essere ottenuta
imponendo che le misure dei lati siano tutte positive e che
ciascun lato (e non uno solo !!) sia minore della somma dei
restanti due (come correttamente indicato da gelaci)
Questo perche' non e' noto il segno di ognuna delle espressioni
che definiscono i lati e perche' non e' noto a priori quale sia
il lato maggiore.
Per il punto 3,con riferimento alla figura allegata,per
x=a/4 le misure dei lati sono:
$3/2a,3/4a,7/4a$ e dunque $bar(BC)=7/4a$ e l'area S (calcolata
con Erone ) e':
$S=sqrt(2a*(1/2a)*(5/4a)*(1/4a))=(a^2)/4sqrt5$
L'altezza AH ,relativa a BC,misura quindi:
$bar(AH)=(2S)/(bar(BC))=(2a)/7 sqrt5$
Per il teorema delle 3 perpendicolari,congiunto D con H,
risulta DH perpendicolare a BC e pertanto l'angolo $alpha$
tra i piani (ABC) e (DBC) coincide con l'angolo AHD.
Allora dal triangolo rettangolo DAH si trae:
$tan alpha=(bar(AD))/(bar(AH))=(7sqrt5)/(10)$
Con una comune calcolatrice si tova che:
$alpha=57° 25' 35'' $
Pertanto il valore approssimato a meno di un grado e' $alpha=57°$
karl

[Valerio_D]

Una cavolata che butto là:

S=1/2 a*b*sin(gamma) con gamma compreso fra a e b.

gamma sarà certamente funzione di x per cui si possono facilmente vedere i valori di x S e max o min ragionando sul seno.

[codino75]

Una cavolata che butto là:

S=1/2 a*b*sin(gamma) con gamma compreso fra a e b.

gamma sarà certamente funzione di x per cui si possono facilmente vedere i valori di x S e max o min ragionando sul seno.

ma l'espressione gamma(x) chi te la da' ?

[Valerio_D]

No vabbè, sin(gamma) lo si potrebbe trovare dal teorema dei seni.
Bisogna derivare per forza.