Insiemistica (con funzioni)

[Myriam92]

È iniettiva? Vediamo che per esempio $ f({a,b})=|{a,b}|=2 $ ma anche $ f({b,c})=|{b,c}|=2 $quindi non è iniettiva ...

Come fai a prendere una coppia di valori e farla corrispondere sempre a 2? Sull' hint c'è scritto di fare il disegno

per ogni valore dell'insieme di arrivo B esiste un sottoinsieme di A che ha tale cardinalità quindi è suriettiva.

Ma io vedo in un insieme solo lettere e nell'altro solo numeri, cm è possibile?

[axpgn]

La funzione è $f: P(A)\ ->\ B$.

Il dominio è l'insieme delle parti di $A$ cioè $P(A)={phi,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}}$

L'insieme di arrivo (che non chiamo codominio per rispetto ) è $B={0,1,2,3,4}$

La legge di corrispondenza è $f(X)=|X|$ ovvero si fa corrispondere ad un sottoinsieme di $A$ la sua cardinalità (quindi colleghi un oggetto che è un insieme con un oggetto che è un numero)

Dato che gli elementi del dominio sono $16$ devi applicare la leggi di corrispondenza $16$ volte:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$f(phi)=|phi|=0$,

$f({a})=|{a}|=1$,

$f({b})=|{b}|=1$,

...,

$f({a,b})=|{a,b}|=2$,

$f({a,c})=|{a,c}|=2$,

...,

$f({a,b,c})=|{a,b,c}|=3$,

$f({a,b,d})=|{a,b,d}|=3$,

...,

$f({a,b,c,d})=|{a,b,c,d}|=4$

Adesso riesci a vedere che NON è iniettiva? Vedi che è suriettiva?

[Myriam92]

Sì, chiarissimo, grazie!
Il problema è che non bastano mai perché ce ne è sempre uno diverso ( e poi più complicato )
Per esempio
Detto T l'insieme dei numeri naturali multipli di 3 ; sia $f:T-> NN$ la funzione definita da f(t)=t/3 per ogni t appartenente aT.
Inoltre sia R la relazione binaria su T definita per ogni s,t appartenenti a T:
$sRthArrf(s)=f(t)$
F è iniettiva/suriettiva/invertibile?
R Ha insieme quoziente finito? Gode di antisimmetria?

Qui f:T è il dominio; i naturali sono l'insieme di arrivo; ma abbiamo ben due definizioni da rispettare ! Quindi che si fa!?!

[axpgn]

Le definizioni sono due ma di oggetti diversi perciò nessuna confusione ...

Dato che i multipli di tre si rappresentano così $t=3k$ con $k in NN$ la funzione $f$ fa corrispondere ogni elemento del dominio con la sua terza parte (che è intera) ... la funzione è iniettiva, infatti ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio (es. $f(6)=6/2=3, f(21)=21/3=7, ...$); è anche suriettiva perché "copre" tutti i naturali (es. $f(0)=0, f(3)=1, f(6)=2, ...$).
Quindi è invertibile e la sua inversa è $f^(-1)(k)=3k=t$.

Veniamo alla relazione ...
In pratica ci viene detto che due numeri sono in relazione se le loro terze parti sono uguali ma questo, nei naturali, avviene solo se i due numeri sono uguali quindi nella relazione avremo solo elementi così $(a,a), (b,b), (c,c), ...$; quindi è una relazione di equivalenza composta da infinite classi ciascuna con un solo elemento ...

[Myriam92]

Sono passata subito alla soluzione, mi dispiace dirtelo ma dovrebbe godere di antisimmetria

[axpgn]

E quando avrei detto che NON è antisimmetrica?

Ti ricordi quella relazione "particolare" che era sia di equivalenza che di ordinamento ?
Ti ricordi che era composta proprio così $(a,a), (b,b), (c,c), ...$


Buona Notte, Alex

[Myriam92]

Vero, chi se lo scorda

Ero sull'orlo di riuscire a svolgerne uno correttamente però nn sono riuscita a capire il motivo della suriettivitá..
Sia l'insieme A={a,b,c,d} e la funzione $f:P(A)->P(A) $definita da$ f(C)=A\\C, AACinP(A)$
A parte l'interpretazione della legge, il cui insieme di arrivo all' inizio mi pareva insieme vuoto, poi insieme quoziente.... Quando in realtà era una sorta di insieme "complementare" dei sottoinsiemi di A, se così possiamo definirlo...Per l'esattezza : facciamo corrispondere ad un sottoinsieme di A il complementare del sottoinsieme stesso.. credo...
Qui abbiamo una roba del tipo {a,b}={c,d} b={a,c,d} ecc.. ok iniettiva, ma perché suriettiva? Spiegazione in lingua italiana per favore, o se coi segni(come sul libro) , con relativo sottotitolo . . . Grazie! xD

[axpgn]

Perché ogni sottoinsieme di $A$ avrà come complementare un altro sottoinsieme di $A$ (tra l'altro l'unione tra i due forma $A$), quindi visto che la funzione "tocca" tutti i sottoinsiemi di $A$ ed è iniettiva (cioè collegamento uno a uno tra dominio e codominio), il codominio sarà formato da tutti i sottoinsiemi di $A$ ovvero $P(A)$

Detto in altro modo: all'elemento del dominio ${a,b}$ corrisponde l'immagine ${c,d}$ e all'elemento del dominio ${c,d}$ corrisponde l'immagine ${a,b}$; rifai questo "giochetto" per tutti gli elementi restanti del dominio e ti ritrovi che dominio e codominio sono la stessa cosa.

[Myriam92]

Sembra tutto così facile dopo che me lo spieghi
Posso chiederti se avresti un suggerimento da darmi per poter riuscire a interpretare la legge $ f(C)=A\\C, AACinP(A) $ ? Onde evitare il miscuglio che ho creato all'inizio?

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

la relazione binaria su A={a,b} è $2^(2×2)$.. mi potresti scrivere quali sono sti 16 elementi? Sto facendo un po' di ripasso e vorrei essere certa di nn aver scritto una scemenza! Grazie ^^

[axpgn]

Mah, non saprei ... la prima cosa che mi viene in mente è fare attenzione a "chi sono" gli elementi del dominio e dell'insieme di arrivo ... in $f(C)$ sappiamo che $C$ è un insieme perché è un elemento del dominio e il dominio è l'insieme della parti di $A$ ... mentre in $f(C)=y=A\\C$ sappiamo che $A\\C$ appartiene all'insieme di arrivo quindi sarà anch'esso un insieme ed in particolare sarà il complementare di $C$ in quanto $C sube A$ perciò $A\\C$ è il complementare.
Niente di speciale ma stando attenta a queste "cose" eviti la confusione che per esempio avevi mostrato in un post precedente dove gli elementi del dominio erano insiemi e quelli del codominio numeri ...

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Non sono $16$ gli elementi di $A xx A$ ma $4$

$A={a,b}$

$A xx A = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}$

Sono invece $16=2^4$ gli elementi di $P(A)$, l'insieme della parti di $A xx A$ ovvero i sottoinsiemi di $A xx A$ ovvero tutte le possibili relazioni binarie su $A$.

Chiara la differenza?