Insiemistica (con funzioni)

[Myriam92]

siano$D$ i numeri dispari e $f:D->NN$ la funzione definita dalla legge $f(d)=(d-1)/2$ per ogni $dinD$
io ho capito che dobbiamo semplicemente impostare lo schema f(d)=1,3,5,7; (d-1)/2=0,1,2,3.
Per definizione so cosa è una funzione iniettiva (ad ogni elemento di f(d) deve corrispondere un solo elemento di quello che ho messo nella funzione accanto)... se è suriettiva ad ogni elemento di (d-1)/2 ne corrisponde qualcuno di f(d));
qui come dimostro che le caratteristiche le abbiamo entrambe? E, visto che l'inversa c'è pure, perchè è data dai valori che ho dato a (d-1)/2?

(da come si potrebbe ben dedurre le soluzioni le ho già, ma ho difficoltà ad interpretarle... )
grazie

[axpgn]

Le richieste quali sono? Per favore ... non puoi "partire" con le tue idee se non si sa neanche cosa si deve trovare ...

Comunque un hint semplice, semplice: i numeri dispari si rappresentano così $2k+1$ ...

[Myriam92]

mi serve sapere se la funzione è iniettiva, suriettiva e quale è la sua inversa

[axpgn]

Il mio hint è sufficiente ... ed è già una risposta ...

[Myriam92]

Daiiii non vale, il tuo hint ce l'ho già tra le opzioni di risposta!
L'unica cosa che mi viene in mente è trovare k che non serve a nulla (e che il libro chiama n, ma nn ha importanza nemmeno).
Un altro aiutinoinoino? *.*

[axpgn]

Una funzione è iniettiva se $f(x_1)=f(x_2)$ implica che $x_1=x_2$ ...

[Myriam92]

io vedo solo $f(d)=2n+1$ e $(d-1)/2=n$
illuminami, lo sai che non ci vedo bene XD


forse intravedo uno spiraglio...
$(d-1)/2=n$ da cui $d=2n+1$ che è f(d)? per questo è iniettiva?

scusa ma quando abbiamo fatto le funzioni x e y pero' non dovevano assumere valori diversi? :S

[axpgn]

Che confusione ...

Ripartiamo dalla definizione ...

Una funzione è iniettiva se $ f(x_1)=f(x_2) $ implica che $ x_1=x_2 $ ...

Questa è un'implicazione logica cioè $f(x_1)=f(x_2)\ =>\ x_1=x_2$

Prendiamo due immagini qualsiasi $y_1$ e $y_2$ date da $y_1=f(x_1)=(x_1-1)/2$ e $y_2=f(x_2)=(x_2-1)/2$

Se sono diverse ($y_1!=y_2$ cioè $f(x_1)!=f(x_2)$) allora la premessa dell'implicazione è falsa e l'implicazione è vera.

Se sono uguali ($y_1=y_2$ cioè $f(x_1)=f(x_2)$) allora dobbiamo verificare se è vera anche la conclusione dell'implicazione ... vediamo se è vera ...

Da $y_1=y_2$ cioè $f(x_1)=f(x_2)$ discende che $(x_1-1)/2=(x_2-1)/2$ da cui $x_1-1=x_2-1$ ovvero $x_1=x_2$.

Anche la conclusione dell'implicazione è vera quando la premessa è vera, ne consegue che l'implicazione è vera.

Conclusione: la funzione è iniettiva

[Myriam92]

Perfetto. Adesso la soluzione del libro di un rigo (le due immagini eguagliate) espressa in 7 posso dire che ha un senso.
Resta la perplessità della funzione( x e y pero' non dovevano assumere valori diversi?)

Cmq per la suriettività che si fa? Inutile darmi consigli perchè qui sarei proprio cieca, lo sai...andiamo al sodo

[axpgn]

Resta la perplessità della funzione( x e y pero' non dovevano assumere valori diversi?

Questa continuo a non capirla ma è meglio andare oltre ...

Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio ... in simboli dovrebbe essere ... posto $y in \text(Codominio)$ abbiamo che $AAy: y=f(x) ^^ x in \text(Dominio)$

Proviamo a verificarlo ...

Il dominio della nostra funzione è l'insieme dei numeri naturali dispari mentre il codominio è l'insieme dei numeri naturali.

Prendiamo un elemento $y$ qualsiasi del nostro codominio (cioè $y in NN$); affinché la nostra tesi sia verificata deve essere $y=f(x)=(x-1)/2$ in cui $x$ è un numero dispari.

Ipotizziamo che sia $y=(x-1)/2$ e vediamo se ne esce qualcosa di buono ...

Da $y=(x-1)/2$ otteniamo $2y=x-1$ e poi $x=2y+1$ ... possiamo notare che l'espressione $2y+1$ rappresenta sempre un numero dispari dato che $2x$ è sempre pari in quanto divisibile per due e $2x+1$ è il successivo di un numero pari quindi dispari.
Ne consegue che ogni elemento del nostro codominio (ovvero ogni numero naturale (il nostro $y$)) è immagine di un elemento del dominio.
Conclusione: la funzione è suriettiva.