Relazioni binarie algebriche (2)

[Myriam92]

Sono ancora incomprensibile ? 0.0

[axpgn]

Va bene, va bene ...

[Myriam92]

Grazie!

[igiul]

Dati $A={a,b,c}$ e $R={(a,a),(b,b),(c,c)}$ con $Rsube AxxA$ allora $R$ è una relazione di equivalenza perché gode delle tre proprietà: riflessiva, simmetrica e transitiva.

Proprietà riflessiva: $(x,x) in R$ con $AA x in A$

Proprietà simmetrica: $(x,y) in R -> (y,x) in R$ con $AA x,y in A$ [Nota: NON è richiesto $x!=y$]

Proprietà transitiva: $(x,y) in R ^^ (y,z) in R -> (x,z) in R$ con $AA x,y,z in A$ [Nota: NON è richiesto $x!=y!=z$

Sarà anche come dici tu, ma la cosa mi convince poco. Allora una relazione che mette in corrispondenza solo ogni elemento di un insieme con se stesso (ossia riflessiva) è anche transitiva e simmetrica?

[axpgn]

Sì, è un caso banale ma lo è ... le classi di equivalenza sono gli elementi stessi, o meglio tutti singoletti ${a},{b},...$

[Myriam92]

Dove ti ha citato sopra igiul...Ma la simmetrica e la transitiva può essere dimostrata semplicemente dicendo che le ipotesi dell'una e dell'altra sono false quindi le implicazioni sono vere?
Per esempio infatti non abbiamo aRb..
Mmm forse è imprecisa e incompleta come spiegazione?

[axpgn]

Non dimostri niente così ...
Dimostri la transitività e la simmetricità per i casi che non ci sono ma non dici niente riguardo a quelli esistenti ...
Non c'è $(a,b)$ ... e allora? Che c'entra con $(a,a)$? Ma usare le definizioni è così difficile?

[Myriam92]

Dimostri la transitività e la simmetricità per i casi che non ci sono

Beh l'importante è che lo sto dimostrando no?
In pratica mi è capitato un esercizio come questo e pensavo di poterlo dimostrare come ti ho detto io ... Diciamo che usare la definizione non è complicato ma è meno intuitivo ... Almeno per me...
Grazie!

[axpgn]

No, non lo stai dimostrando ... ho ripetuto più di una volta che va dimostrato per tutti: nel modo che fai tu lasci fuori gli unici casi che contano, quelli esistenti ...