equazione differenziale omogenea del primo ordine

[ang_g]

Buonasera a tutti,
chiedo gentilmente un aiuto nella risoluzione della seguente equazione differenziale omogenea del primo ordine:
$y'=(x-y)/(x+y)$.
Ho effettuato le sostituzioni $y=xt(x)$ e $y'=t(x)+xt'(x)$ e separato le variabili ma non riesco ad ottenere $t(x)$ perché mi blocco nella risoluzione dell'integrale.

In attesa di una cortese risposta, auguro a tutti una buona serata e ringrazio in anticipo dell'attenzione dedicatami.

[sandroroma]

Con la sostituzione che hai proposto l'equazione diventa:
$t+xt'=(1-t)/(1+t)$
Da qui:
$xdt/dx=(1-t)/(1+t)-t=(1-2t-t^2)/(1+t)$
Separando le variabili:
$(1+t)/(1-2t-t^2)dt=1/xdx$
Ovvero:
$-1/2d(ln(1-2t-t^2))=d(ln(x)-ln(C))$
[C è una costante arbitraria e la "d" indica l'operazione di differenziazione rispetto alla variabile rispettiva]
Integrando risulta:
$x=C(1-2t-t^2)^{-1/2}$ e quindi $y=Ct(1-2t-t^2)^{-1/2}$
E queste sono le equazioni parametriche della famiglia di curve integrali che risolvono il problema.
Eliminando la variabile "t" da tali equazioni si ottiene l'equazione cartesiana di detta famiglia.
Ma questo è compito tuo...

[ang_g]

Grazie per la spiegazione dettagliata! Avevo risolto nello stesso modo però non avevo considerato la costante arbitraria come $ln (C) $, ovviamente questo aiuta nel prosieguo. In giornata proverò a scrivere l'equazione cartesiana.
Grazie e buona giornata!

[ang_g]

Ho delle difficoltà a trovare l'equazione cartesiana della famiglia (mi sto perdendo nei calcoli), saresti così gentile ad aiutarmi?

Grazie