geometri solida: piramide quadrangolare regolare

[glorietta88]

Buongiorno,

sto risolvendo un problema di geometria solida ma sono bloccata ad un certo punto.

"Considera una piramide quadrangolare regolare di altezza 12 cm in cui l'apotema è $frac{5}{6}$ dello spigolo di base.
Determina a quale distanza dal vertice della piramide bisogna condurre un piano parallelo alla base in modo che il tronco di piramide che ha vome basi la sezione della piramide con il piano e la base della piramide stessa abbia superficie laterale pari a $480 cm^2$."

Allora ho calcolato l'apotema della piramide in questo modo $a^2 = h^2 + frac{l^2}{4}$ e ho ricavato che $l=18cm$ e $a=30cm$

Fatto questo ho pensato di scrivere la distanza del vertice dal piano come $h-x$.

Poi ho calcolato il perimetro del quadrato di base che è $4l$ e quindi 72 cm.

Sono bloccata sul calcolo dell'altro perimetro di base.
So che le facce laterali del tronco di piramide sono trapezi isosceli e che l'apotema del tronco di piramide è l'altezzza di uno di questi trapezi isosceli.

Non so come andare avanti.
Grazie a tutti

[mgrau]

Lato della base minore Lm (LM lato della base, 36cm):
h:LM = (h-x):Lm

L'apotema della fetta superiore di piramide si trova nello stesso modo
L'apotema del tronco di piramide si trova per differenza
Occhio che l=18cm è META' del lato di base

[glorietta88]

ciao!
allora sto provando ad andare avanti...risolvendo la proporzione trovo che $Lm=36-x$

e con la formula della superfiche laterale del tronco di piramide ho trovato l'apotema del tronco di piramide $a=frac{2Sl}{2PB+2Pb}$ dove $2PB=144cm$ e $2Pb=(36-x)*4$

l'apotema del tronco di piramide risulta $144x$. E' corretto fino a qua?
grazie mille

[mgrau]

Intanto l'apotema è $A = 15$ e non $30$.
L'apotema della punta della piramide è $A_p = 15/12 x$
Apotema del tronco di piramide è $A_t = 15 - 15/12x$
Lato della base minore del tronco è $L_m = 18/12 x$
Area di una faccia del tronco: $A_f = 1/2(L_M + L_m )*A_t = ..... = 480/4$
Dovrebbe risultare $x = 4$?

[glorietta88]

Ciao,

non ho capito perchè $Lm=frac{18x}{12}$. A me dalla proporzione impostata in precedenza mi risulta $3(12-x)$.
Da qui se continuo con il mio risultato ho dei dati differenti.
Dove sbaglio? Scusami se insisto ma proprio non sto capendo.
grazie mille

[mgrau]

Scusa, ho fatto un po' di sbagli. Adesso sto più attento.
Numeriamo i vari punti, così ci si capisce meglio.
1) Lato base maggiore $L_M = 18$. Si ricava da $A^2 - (L_M/2)^2 = h^2 => (5/6 L_M)^2 -( L_M/2)^2 = h^2$. Ok?
2) Apotema $A = 5/6 L_M = 15$. Ok?
3) Lato base minore $L_m$. Se $x$ è l'altezza della "punta" della piramide, abbiamo la proporzione $L_M:h=L_m:x$ da cui $L_m = 18/12 x = 3/2 x$. Ok?
4) Apotema della punta $A_p$ si ricava dalla proporzione $A:h=A_p:x$ da cui $A_p = 5/4 x$. Ok?
5) Apotema del tronco di piramide $A_t = A - A_p = 15 - 5/4 x$. Ok?
6) Area di una faccia del tronco di piramide: $1/2(L_M + L_m). A_t = 1/2(18 + 3/2x)(15 - 5/4x)$ che deve essere $480/4$. Da qui si ricava $x = 4$.