Per esempio:
nella tua figura, traccia anche $ HP_1=$ altezza relativa ad AB nel triangolo ABH e $HP_2=$ altezza relativa a BC nel triangolo BCH. Indichiamo con
$x$
i segmenti congruenti $HP_2$ e $BP_1$
Tenendo conto della similitudine evidenziata da mgrau
$CP_2=1/2HP_2=x/2$
$BP_2=2HP_2=2x$
Quindi
$BC=CP_2+BP_2=x/2+2x=5/2x$
$AB=2BC=5x$
Ora passiamo ad $a$ e al tuo amato Pitagora:
$HC=\sqrt(CP_2^2+HP_2^2)=\sqrt((x/2)^2+x^2)=\sqrt((x^2)/4 + x^2)=\sqrt((x^2 + 4x^2)/4)=\sqrt(5/4x^2)=(\sqrt(5))/2x$
Ora Pitagora su ABC:
$AC=\sqrt(AB^2 + BC^2)=\sqrt((5x)^2+(5/2x)^2)=\sqrt(25x^2 + 25/4x^2)=\sqrt(125/4x^2)=(5\sqrt(5))/2x$
Quindi
$a=HK=AC-AK-HC=(5\sqrt5)/2x-\sqrt(5)/2x-\sqrt(5)/2x=(3\sqrt(5))/2x=a$
$a=(3\sqrt(5))/2x$
e
$x=2/(3\sqrt(5))a$
Calcoliamo l'area del rettangolo in funzione di x:
$A_(ABCD)=AB\timesBC=5x\times5/2x=25/2x^2$
e, sostituendo x con il suo valore in funzione di a:
$A_(ABCD)=25/2x^2=25/2*2/(3\sqrt5)a^2=25/2*4/45a^2=100/90a^2=10/9a^2$
che è il risultato corretto. Ho inserito tutti i passaggi, credo dovresti avere capito.
Le persone credono di essere libere, ma sono soltanto libere di crederlo.
Jim Morrison