Polinomi, esercizio già svolto, un aiutino?

[Ragazzo123]

Non riesco a capire questo esercizio, che ho trovato su internet... ora vi mostro:

Quale delle seguenti affermazioni vale per ogni coppia di polinomi $p(x)$ e $q(x)$ di grado 3 a coefficienti reali, con $p(x)!=q(x)$?

A)$p(x)+(x)$ ha grado 6 e $p(x)*q(x)$ ha grado $<=6$
B)$p(x)+(x)$ ha grado 3 e $p(x)*q(x)$ ha grado $3$
C)$p(x)+(x)$ ha grado 6 e $p(x)*q(x)$ ha grado $<=9$
D)$p(x)+(x)$ ha grado 3 e $p(x)*q(x)$ ha grado $<=6$
E)$p(x)+(x)$ ha grado $<=3$ e $p(x)*q(x)$ ha grado $6$

la soluzione che propone e che non ho capito è questa:
un polinomio ha grado 3 se il coefficiente del monomio di grado 3(che è il monomio di grado massimo) è diverso da 0.
quindi il prodotto dei due polinomi $p(x),q(x)$ avrà il monomio di grado massimo dato dal prodotto dei due monomi di grado 3 e quindi avrà grado 6.
la somma può avere grado $<=3$. più precisamente ha grado 3 se i coefficienti dei monomi di grado 3 non sono opposti, grado $<3$ se i coefficienti dei monomi sono opposti. Dunque la risposta esatta è la E.

non ho proprio capito la spiegazione, qualcuno potrebbe chiarirmela per favore?

[bobus]

Mi sa che manca un 3 nella domanda. Prova a scriverti due polinomi di terzo grado generici e fanne il prodotto e la somma, vedi cosa puoi dire sul grado dei polinomi così ottenuti.

[Ragazzo123]

si manca un 3 nella domanda aggiusto subito.

[Ragazzo123]

ho fatto come mi hai detto, ho preso due polinomi di terzo a grado a caso: $x^3+2$ e $x^3+3$
gli ho sommati:
$x^3+2+x^3+3=2x^3+5$
mentre se li moltiplico:
$(x^3+2)*(x^3+3)=x^6+3x^3+2x^3+6=x^6+5x^3+6$

continuo a non capire però

[axpgn]

La somma di due polinomi di terzo grado sarà generalmente di terzo grado (sommando monomi simili con monomi simili il grado non aumenta) tranne nel caso che i due monomi di terzo grado (uno per ciascun polinomio) si elidano a vicenda (p.es. $2x^3+x+1-2x^3+x^2$) ed allora il grado diminuisce (ecco perché $<=3$) mentre moltiplicandoli, i due monomi di terzo grado produrranno sicuramente un monomio di sesto grado.

[Ragazzo123]

AHH grazie mille axpgn !!
ti sono debitore un'altra volta