Disequazione goniometrica

[SelySely]

Ciao a tutti! Avrei bisogno di un aiuto con la seguente disequazione goniometrica:

\(\displaystyle \frac{4cos^2x+sen^2x+5senx cosx}{tgx-tg^2x}>0 \)

Vi ringrazio intanto per l'aiuto!

[Zero87]

Puoi iniziare con qualche raccoglimento o con una scomposizione poi procedi con un classico studio del segno, né più né meno di come fai con le disequazioni fratte.
$sin^2(x) + 5cos(x)sin(x) + 4 cos^2(x) = sin^2(x) + sin(x)cos(x) + 4sin(x)cos(x) + 4cos^2(x) = ...$
$tan(x) - tan^2(x) = tan(x) (1-tan(x))$

Perché non fai qualche tentativo?

[SelySely]

Puoi iniziare con qualche raccoglimento o con una scomposizione poi procedi con un classico studio del segno, né più né meno di come fai con le disequazioni fratte.
$sin^2(x) + 5cos(x)sin(x) + 4 cos^2(x) = sin^2(x) + sin(x)cos(x) + 4sin(x)cos(x) + 4cos^2(x) = ...$
$tan(x) - tan^2(x) = tan(x) (1-tan(x))$

Perché non fai qualche tentativo?

Io avevo cominciato con lo studio del segno senza fare prima delle scomposizioni; studiando il numeratore avevo diviso tutto per \(\displaystyle cos^2x \) e avevo ottenuto \(\displaystyle tg^2 x + 5 tgx + 4 >0 \). Risolvendo l'equazione associata ho ottenuto \(\displaystyle tgx=-4 \) e \(\displaystyle tgx=-1 \) e prendendo i valori esterni avevo \(\displaystyle tgx <-4 , tgx>-1 \) e quindi \(\displaystyle -\pi/2 <x < -arctg 4 , -\pi/4 <x<\pi/2\) (perchè per studiarla mi sono messa in \(\displaystyle ]-\pi/2, \pi/2[ \) per poter invertire la tangente.. è corretto?).
Il denominatore mi viene invece \(\displaystyle 0<tgx<1 \) e quindi \(\displaystyle 0<x<\pi/4 \).
Dici che è giusto? Perchè così il risultato non mi viene

[teorema55]

Direi che, rimanendo tra $0$ e $\pi$ gli intervalli per cui la disequazione è verificata sono

$0<x<\pi/4$

e

$arctg(-4)<x<arctg(-1)$

e, nel 3° e 4° quadrante ($\pi<x<2\pi$), data anche la periodicità della funzione $tgx$ ( che è $\pi$ ), sono

$\pi<x<5/4 \pi$

e

$arctg(-4)<x<arctg(-1)$

cioè i corrispondenti dei primi 2 intervalli.

Il procedimento che hai scelto mi piace, vorrei sapere se concordi con i risultati..............

[Zero87]

Io avevo cominciato con lo studio del segno senza fare prima delle scomposizioni; studiando il numeratore avevo diviso tutto per \(\displaystyle cos^2x \) e avevo ottenuto \(\displaystyle tg^2 x + 5 tgx + 4 >0 \).

Buon metodo, praticamente rispetto al mio hai fatto il secondo passo prima del primo.
Scherzi a parte, l'importante è che prima di dividere tu abbia escluso dalle soluzioni l'annullamento di $cos^2(x)$ - dato che dividi - ma prima tu abbia visto se $cos^2(x) = 0$ sia anche soluzione.

Quello che dicevo io, alla fine, era (riparto da quanto ho scritto
$sin^2(x) + 5cos(x)sin(x) + 4 cos^2(x) = sin^2(x) + sin(x)cos(x) + 4sin(x)cos(x) + 4cos^2(x) = (sin(x)+4cos(x))(sin(x)+cos(x))$
$ tan(x) - tan^2(x) = tan(x) (1-tan(x)) $
... e poi studio del segno. Praticamente in ordine opposto al tuo, ma credo la stessa cosa alla fine.