Limite con teorema di de l'Hopital, dubbio.

[Dlofud]

Ciao ragazzi,

ieri sera ho provato a risolvere questo limite:



Dopo aver sostituito il - inf mi accorgo che è una forma indeterminata inf/inf, così utilizzo l'Hopital.

Derivo il numeratore ed il denominatore però ottengo un altro limite uguale a quello di partenza, quindi la stessa forma indeterminata, poichè la derivata del denominatore è:



Ho risolto il limite raccogliendo il termine di grado massimo ma mi sto chiedendo: poichè con il teorema il limite dovrebbe trasformarsi in un limite senza la forma indeterminata (eventualmente applicandolo più di una volta), dove ho sbagliato ad applicarlo?

La forma indeterminata è inf/inf, quindi il caso è giusto... forse ho sbagliato a derivare?

Grazie mille!

[dRic]

Se non ricordo male il teorema dell'Hopital dice che il rapporto delle derivate prime ha stesso limite del rapporto delle funzioni originali. Non dice nulla sul fatto che debba eliminare la forma indeterminata.

[Dlofud]

Se non ricordo male il teorema dell'Hopital dice che il rapporto delle derivate prime ha stesso limite del rapporto delle funzioni originali. Non dice nulla sul fatto che debba eliminare la forma indeterminata.

Mmm, quello che dici è vero, la definizione del teorema dice che il rapporto delle derivate prime ha lo stesso limite del rapporto delle funzioni originali. Ma, tutti i manuali che ho consultato, lo suggeriscono proprio come mezzo per trattare i limiti con forme indeterminate, in particolare quelli nella forma inf/inf.

Quindi questo non è vero, ed il teorema è un buon metodo solo qualche volta? :uhm:

[dRic]

Per come la vedo io (ma non sono un matematico quindi non saprei) il teo dell'Hopital ti facilita nel risolvere il limite ma non te lo risolve direttamente.

Considera per esempio $l = lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x}$ tu puoi applicare il teo dell'Hopital infinite volte però alla fine devi comunque calcolare il risultato finale

[caffeinaplus]

Scusami tanto, ma l'Hopital qui è una brutta scelta perchè ti trascina in un loop

è molto più semplice $lim_(x->-oo) x/sqrt(x^2+1) = lim_(x->-oo) x/(abs(x)*sqrt(1+1/x^2)) = -1$

[Dlofud]

Mmm, 2 cose!

Grazie a tutti per le risposte, intanto!

Poi, @caffeinaplus, hai ragione, mi confermi anche tu quindi che l'utilizzo del teorema di de l'Hopital alcune volte può risultare una scelta inutile che non semplifica i calcoli (e questa per me è già una nuova informazione, poichè non lo sapevo), il metodo che mostri per risolvere il limite è quello che avevo provato anch'io, effettivamente più semplice.

@entrambi, più difficile da spiegare per me: per $ l = lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x} $, come potrei fare?

Nell'esempio di caffeinaplus, se semplifico x al numeratore con -x al denominatore, ottengo così $ 1/(-1*sqrt(1+0))$, eseguendo i calcoli risulta -1.

Posso fare un calcolo simile anche con $ \frac {e^x} {e^x} $, semplificando numeratore e denominatore poichè sono uguali ed ottenendo 1 (intendo $ e^x $ è proprio uguale a $ e^x $, quindi potrei semplificare)?

[caffeinaplus]

Si, in molti casi l'Hopital è inutilizzabile.Uno banale costruito ad hoc è

$lim_(x->oo) e^x/(e^(2x))$

Mentre per l'altro limite .. beh quello è semplicemente $lim_(x->oo) e^(x-x) =1$ , però con l'Hopital cadi in un ciclo infinito di derivazione

[dRic]

Mmm, 2 cose!

Grazie a tutti per le risposte, intanto!

Poi, @caffeinaplus, hai ragione, mi confermi anche tu quindi che l'utilizzo del teorema di de l'Hopital alcune volte può risultare una scelta inutile che non semplifica i calcoli (e questa per me è già una nuova informazione, poichè non lo sapevo), il metodo che mostri per risolvere il limite è quello che avevo provato anch'io, effettivamente più semplice.

@entrambi, più difficile da spiegare per me: per $ l = lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x} $, come potrei fare?

Nell'esempio di caffeinaplus, se semplifico x al numeratore con -x al denominatore, ottengo così $ 1/(-1*sqrt(1+0))$, eseguendo i calcoli risulta -1.

Posso fare un calcolo simile anche con $ \frac {e^x} {e^x} $, semplificando numeratore e denominatore poichè sono uguali ed ottenendo 1 (intendo $ e^x $ è proprio uguale a $ e^x $, quindi potrei semplificare)?

Qui stiamo parlando proprio del concetto di limite. Quando hai una frazione stai cercando di vedere quanto il numeratore vada "più velocemente" al limite del denominatore (o viceversa).

Prendi per esempio: $lim_{x->0} \frac {2x} {x}$

Per x = 1 abbiamo $\frac 2 1 = 2$
Per x = 0.1 abbiamo $\frac 0.2 0.1 = 2$
Per x = 0.00001 abbiamo $frac 0.00002 0.00001 = 2$

quindi vedi che il loro rapporto è costante e dipende dal coefficiente che moltiplica la x al numeratore. E' per questo che puoi "semplificare": in realtà non stai semplificando le x, ma stai ragionando sul loro rapporto.

La stessa cosa vale per $lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x}$

per $x = ln(1) = 0$ abbiamo $\frac 1 1 = 1$
per $x = ln(10)$ abbiamo $\frac 10 10 = 1$
per $x = ln(100)$ abbiamo $\frac 100 100 = 1$
ecc...

e quindi concludiamo che il "si può semplificare" numeratore e denominatore.


Ora facciamo un altro caso: $lim_{x->\infty} \frac x {e^x}$

per $x = ln(1)$ abbiamo $\frac 1 1 = 1$
per $x = ln(10)$ abbiamo $\frac {2.3025...} 10 = 0.2305...$
per $x = ln(100)$ abbiamo $\frac {0.4605...} 100 = 0.004605...$

Da qui si può concludere che $e^x$ cresce più velocemente di $x$ e quindi il limite tende a $0$. Questa non è altro che la gerarchia degli infiniti/esimi.

[Dlofud]

Si, in molti casi l'Hopital è inutilizzabile.Uno banale costruito ad hoc è

$lim_(x->oo) e^x/(e^(2x))$

Mentre per l'altro limite .. beh quello è semplicemente $lim_(x->oo) e^(x-x) =1$ , però con l'Hopital cadi in un ciclo infinito di derivazione

Ah, ottimo, cercavo conferma di quel problema con l'Hopital, grazie!

Per quanto riguarda $ l = lim_{x->\infty} \frac {e^x} {e^x} $, il tuo suggerimento di riscriverlo come $lim_(x->oo) e^(x-x) =1$ mi sembra perfetto, ma ora mi chiedo come risolverei la forma di indeterminazione $ +infty -infty $ all'esponente?

(E, di nuovo, non è possibile "vederlo" come una immediata semplificazione tra un numeratore ed un denominatore uguali, come se semplificassi una frazione come 2/2, 5/5 e così via...? )

[Dlofud]

@dRic, ho visto solo ora la tua risposta, ci sto ragionando sopra, grazie per la lunga spiegazione.