In un esercizio come il sottostante:
$root(4)(4x^4-4x^5)$
il primo punto da svolgere è il campo di esistenza, la cui considerazione consente, tra l'altro, di minimizzare l'utilizzo del valore assoluto nella soluzione finale. A questo scopo è necessario scomporre:
$root(4)(4x^4-4x^5)=root(4)(4x^4(1-x))$
Campo di esistenza
$[4x^4(1-x) gt= 0] rarr [1-x gt= 0] rarr [x lt= 1]$
Quindi, trasportando il fattore $x^4$ fuori dal segno di radice è necessario rispettare le due regole sottostanti:
1. L'espressione che resta sotto il segno di radice deve essere, nel campo di esistenza, non negativa.
2. L'espressione che compare fuori dal segno di radice deve essere, nel campo di esistenza, non negativa.
Trasporto del fattore fuori dal segno di radice
$root(4)(4x^4-4x^5)=root(4)(4x^4(1-x))=xroot(4)(4(1-x))$
Infine, mentre il rispetto della prima regola non necessita del valore assoluto in quanto, nel campo di esistenza, il radicando $4(1-x)$ è senz'altro non negativo, il rispetto della seconda regola necessita del valore assoluto in quanto, nel campo di esistenza, il fattore $x$ può essere anche negativo:
$root(4)(4x^4-4x^5)=root(4)(4x^4(1-x))=|x|root(4)(4(1-x))$
L'esercizio è concluso. Tuttavia, se si vuole esprimere la soluzione senza il valore assoluto:
$0 lt= x lt= 1 rarr |x|root(4)(4(1-x))=xroot(4)(4(1-x))$
$x lt 0 rarr |x|root(4)(4(1-x))=-xroot(4)(4(1-x))$
