da seb » 29/06/2018, 14:12
Io farei così. Il domínio di \(f(x)=(x+1)^{-1}+\ln{(x+3)}\) è \(x>-3\wedge x\neq-1\). Il logaritmo è positivo per \(x>-2\), mentre \((x+1)^{-1}\) per \(x>-1\), allora la loro somma è positiva in \((-1,+\infty)\). Il logaritmo è invece negativo in \((-3,-2)\), come pure \((x+1)^{-1}\), dunque pure la loro somma. Non rimane che controllare cosa accade in \([-2,-1)\) dove \((x+1)^{-1}<0\) e \(\ln{(x+3)}\geqslant0\). Tali addendi sono strettamente monotoni nel dato intervallo; \(\ln(x+3)\in[0,\ln{2})\) e \((x+1)^{-1}\in(-\infty,-1]\); dunque, qualsiasi valore il logaritmo ivi assuma, ne va sottratto al minimo uno pari a \(1\). Dal momento che \(\ln{2}<1\) si conclude che \(f(x)<0\) in \([-2,-1)\) e complessivamente che la funzione è positiva unicamente per \(x>-1\).
Horas non numero nisi serenas