Trigonometria

[Aletzunny]

Data la semicirconferenza di diametro $AB=2r$ considera le corde $AC$ e $CD$ consecutive e congruenti.
Posto $ABC=x$, trova per quali valori di x si ha $AC+CD+2DB=AB$.
[Nessun valore di x]
Io ho trovato :
$AC=AB*sin(x)$
$CD=AB*sin(90-x)=AB*cos(x)$
Poi però non riesco a capire come calcolare $DB$...
Grazie

[gugo82]

Scusa, ma $CD$ non è congruente ad $AC$?

[Aletzunny]

Scusa, ma $CD$ non è congruente ad $AC$?

Hai ragione...però il mio problema rimane nel trovare $DB$

[@melia]

Il triangolo ADB è rettangolo in D e $Ahat(B)D=2x$ quindi $Bhat(A)D=90-2x$ e adesso basta il teorema della corda.

[Aletzunny]

Domani provo a sistemare i passaggi ....grazie

[Aletzunny]

Il triangolo ADB è rettangolo in D e $Ahat(B)D=2x$ quindi $Bhat(A)D=90-2x$ e adesso basta il teorema della corda.

Riguardando non capisco come possa essere l'angolo $ABD=2x$...da cosa si deduce?
Grazie

[Aletzunny]

Io ho provato a risolverlo cosi ma sbaglio qualcosa
$AC=CD=2r*sen(x)$
$DB=2r*sen(90-2x)=2r*cos(2x)$

Quindi nell'equazione inziale del testo verrebbe

$2*2r*sen(x)+2*2*rcos(2x)=2r$
Che trasformando ho reso(non so se correttamente) in
$4sen^2(x)-2sen(x)-1=0$
Da cui trovo risultati stranissimi mentre il libro riporta come soluzione $nessun valore di x$
Dove sbaglio? Oppure andrebbero messe le condizioni su $x$ ma non ho idea di quanto possano valere...

[@melia]

Se le due corde sono congruenti, lo sono anche i corrispondenti angoli alla circonferenza.

[Aletzunny]

Ok invece per la risoluzione del problema?

[@melia]

Nel risolvere il problema per via trigonometrica hai solo sbagliato i conti: viene
$ 4sin^2x-2sinx+1=0$, l'equazione ha il $Delta<0$ perciò nessuna soluzione reale.

Ti propongo una soluzione alternativa, che usa la disuguaglianza triangolare (in un triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo, uguale solo nel caso di triangolo degenere)
Voglio dimostrare che $AC+CD+2DB=AB$ è impossibile perché il primo membro è sempre maggiore del secondo

$AC+CD>=AD$ usando il triangolo $ACD$

$AD+DB>=AB$ usando il triangolo $ABD$ perciò

$AC+CD+2DB>=AD+DB+DB>=AB+DB$

Se $DB!=0$ allora $AB+DB>AB$ è ho dimostrato che l'uguaglianza è impossibile.

Se $DB=0$ allora $AC=CD-=CB$ ed entrambi valgono$rsqrt2$ e il primo membro dell'uguaglianza è $2rsqrt2$ mentre il secondo membro vale $2r$ e non possono essere uguali.