Sistema omogeneo di quarto grado

[HowardRoark]

Devo risolvere il seguente sistema:

$y^2 +(3-sqrt(5))xy -3sqrt(5)x^2=0$

$y^2 +(1-sqrt(5))xy - 3sqrt(5)x^2 =0$

Pongo $y =tx$, sostituisco e successivamente divido ambo le equazioni per $x^2$

Giungo al seguente:

$ t^2 +(3-sqrt(5))t - 3sqrt(5) = 0$

$ t^2 + (1-sqrt(5))t -3sqrt(5) = 0 $

Risolvo quindi le due equazioni di secondo grado per trovare le soluzioni comuni; per ricavarmi perciò la $y$ sostituendo $t$ nella funzione $y=tx$

1) Come soluzioni della prima equazione trovo: $t(1) = sqrt(5)$ e $t(2) = -3$

2) Nella seconda equazione il delta è $6+10sqrt(5)$, quindi un radicale doppio non semplificabile.

Come posso procedere?

[axpgn]

Mah, a occhio si vede subito che $x=0, y=0$ è una soluzione.
Peraltro a me pare altrettanto evidente che non ne esistano altre ...

Se poni $a=y^2-3sqrt(5)x^2$ e $k=-xy$, escludendo la soluzione già detta, avresti $a/k=3-sqrt(5)$ e $a/k=1-sqrt(5)$ cioè $3=1$.
Assurdo.

Cordialmente, Alex

[HowardRoark]

Mah, a occhio si vede subito che $x=0, y=0$ è una soluzione.
Peraltro a me pare altrettanto evidente che non ne esistano altre ...

Se poni $a=y^2-3sqrt(5)x^2$ e $k=-xy$, escludendo la soluzione già detta, avresti $a/k=3-sqrt(5)$ e $a/k=1-sqrt(5)$ cioè $3=1$.
Assurdo.

Cordialmente, Alex

Che una soluzione fosse $(0;0)$ lo sapevo; volevo sapere se ce ne fossero altre...

Nel mio libro dice che è indeterminato, e che la soluzione è $(a;sqrt(5)a)$ per ogni $a$ dei reali; mi sono accorto solo ora del refuso.

[axpgn]

A cosa ti riferisci quando parli di "refuso"? Il testo del sistema è esattamente quello?
La coppia $(a, sqrt(5)a)$ è soluzione solo della prima equazione ma non della seconda ....

Cordialmente, Alex

P.S.: per favore, non rispondere citando il messaggio per intero, a maggior ragione se è quello precedente

[HowardRoark]

Sì, il testo che ti ho riportato è fedele a quello del libro.

Sicuramente un refuso; a maggior ragione se $a$ e $sqrt(5) a$ è soluzione di un'equazione.