Dimostrazione proprietà logaritmo

[rombo]

Sto cercando di capire la dimostrazione delle classiche proprietà dei logaritmi, basandomi però solo sulla definizione di logaritmo ed esponenziale, senza i teoremi di somma e prodotto (che vengono definite nella pagina successiva). Il libro dimostra nell'esercizio precedente anche le proprietà: $log_a[a^n] = n$ e $a^(log_a(b)) = b$

Ora sto cercando di dimostrare: $log_a(b) = -log_a(1/b)$ per $a,b>0$ ed $a!=1$
Il libro propone:

$x=log_a(b)$ -> $a^x=b$ -> $a^-x = b^-1$ = $log_a(a^-x) = log_a(b^-1)$ -> $-x=log_a(1/b)$ -> $x=-log_a(1/b)$

ora alcune domande, forse banali:

1. $x=log_a(b)$ -> $a^x=b$ è giustificato dalla definizione
2. $a^x=b$ -> $a^-x = b^-1$ quale proprietà giustifica questo? La quantità $a^x$ è ben differente da $1/a^x$

gli altri passaggi invece sono chiari.

Grazie

[axpgn]

La 1) è una domanda o un'affermazione? Comunque. è così cioè è un'implicazione dovuta alla definizione di logaritmo.

Anche nella 2) hai un'implicazione, non un'uguaglianza ovvero se due numeri (diversi da zero) sono uguali allora lo saranno anche i loro reciproci ... es. $a=b\ ->\ a/a=b/a\ ->\ 1=b/a\ ->\ 1/b=b/(ab)\ ->\ 1/b=1/a$

[rombo]

La 1) è una domanda o un'affermazione? Comunque. è così cioè è un'implicazione dovuta alla definizione di logaritmo.

Anche nella 2) hai un'implicazione, non un'uguaglianza ovvero se due numeri (diversi da zero) sono uguali allora lo saranno anche i loro reciproci ... es. $a=b\ ->\ a/a=b/a\ ->\ 1=b/a\ ->\ 1/b=b/(ab)\ ->\ 1/b=1/a$

tutto chiaro, grazie!