Limiti con seno e coseno

[ZfreS]

Ho questo limite: $lim_(x->0)(x-xcosx/sin^2x)$
Procedo in questo modo: $lim_(x->0)(x*(1-cosx)/(sin^2x))$
Poi elevo alla $-1$ e ottengo: $lim_(x->0)((sin^2x)/(x(1-cosx)))$
Poi spezzo per ottenere un limite notevole: $lim_(x->0)((sinx/x)(sinx/(1-cosx)))$
Il primo porta a $1$, poi rielevo alla $-1$ per tornare alla situazione di prima: $lim_(x->0)((1-cosx)/sinx)$
Poi qui ho messo in evidenza $x$ per togliere l'indeterminazione: $lim_(x->0)(x((1/x-cosx/x))/(x(sinx/x)))$
Semplifico $x$, poi al numeratore e denominatore ho un limite notevole e diventa: $lim_(x->0)((1/x-cosx/x)/1)$
E infine applico l'ultimo limite notevole: $lim_(x->0)((1-cosx)/x)=0$

I miei dubbi sono: è giusto come ho operato elevando a $-1$ all'inizio e alla fine per convenienza?
Poi ho visto che il problema poteva essere risolto da questo$lim_(x->0)((1-cosx)/sinx)$ punto con la tangente, ma francamente non ho capito come.
Potreste chiarirme le idee per favore?

[giammaria]

Poi elevo alla $-1$ e ottengo...

Brrr... Spero che tu ti sia solo espresso male, dato che in generale non è lecito elevare alla $-1$ solo perché ci fa comodo.
Ti indico un trucchetto: comincia a scrivere quello che vorresti che ci fosse per mandar via seni e coseni usando i imiti notevoli; nel tuo caso cominci a scrivere
$=lim_(x->0)(x^2/sin^2x*(1-cosx)/x^2*...)$
e poi al posto dei puntini metti quello che occorre per far sì che valga l'uguale; in questo caso metti $x$. Così diventa facile proseguire.

Anche l'ultimo limite che scrivi si può risolvere con questo trucchetto; in alternativa si possono usare le formule parametriche e quindi c'è la tangente, ma quella di $x/2$

[anto_zoolander]

@giammaria

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Brrr

[ZfreS]

Ok, il limite notevole $lim_(x->0)((1-cosx)/x^2)$ si può visualizzare direttamente, ma poi mi rimane $lim_(x->0)(1/2sin^2x/x^2)$
Mi rimane l'altro limite notevole, il fatto è che è al contrario, come faccio a rigirarlo senza elevare a $-1$ ?

[axpgn]

Ma il reciproco di $1$ quant'è?

[ZfreS]

$1$

[axpgn]

E quindi?
Ovvero se $a/b=1$ allora $b/a=1$

[ZfreS]

Quindi se $sinx/x=1$ per $x->0$ allora lo è anche $x/sinx$ ?
Allora perchè $-x/(e^-x-1)=1$ per $x->0$ ?

[axpgn]

Per lo stesso motivo …

$lim_(f(x)->0) (e^(f(x))-1)/(f(x)) = 1 $

[ZfreS]

Grazie tante axpgn, ora ho capito bene!