Ancora principio di induzione

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Non riesco a dimostrare con i calcoli questi per n+1:
$2+5+8+15+...+ (3n-1)=n/2 (3n+1)$
$1*3+2*5+3*7+....+n(2n+1)=1/6n(n+1)(4n+5)$


Per favore mi aiutate ?
nel primo ho scritto come tesi da dimostrare:
$ sum_(i = 1)^(n+1) (3i-1) = (n+1)/2(3n+4)$
arrivo a :
$n/2(3n+1)+ (3n+2)$

nel secondo come tesi
$ sum_(i = 1)^(n+1) i(2i+1) = (n+1)(2n+3) $
arrivo a:
$1/6n(n+1)(4n+5)+ (n+1)(2n+3)$

Grazie a tutti.

[@melia]

Nel primo basta un po' di algebra di seconda superiore:
$ n/2(3n+1)+ (3n+2) =1/2(3n^2+n+6n+4)=1/2(3n^2+7n+4)=1/2(n+1)(3n+4)$

Nel secondo devi aver fatto un po' di confusione, credo che tu abbia copiato un pezzo di un esercizio e un pezzo di un altro, oppure ti sei dimenticato del segno di moltiplicazione, forse l'esercizio era $1*3+2*5+3*7+....+n(2n+1)=1/6n(n+1)(4n+5)$?
Correggi e poi ne parliamo.

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Nel primo basta un po' di algebra di seconda superiore:
$ n/2(3n+1)+ (3n+2) =1/2(3n^2+3n+6n+4)=1/2(3n^2+9n+4)=1/2(n+1)(3n+4)$

Nel secondo devi aver fatto un po' di confusione, credo che tu abbia copiato un pezzo di un esercizio e un pezzo di un altro, oppure ti sei dimenticato del segno di moltiplicazione, forse l'esercizio era $1*3+2*5+3*7+....+n(2n+1)=1/6n(n+1)(4n+5)$?
Correggi e poi ne parliamo.

Scusa hai scritto
$1/2(3n^2+3n+6n+4)$
ma non dovrebbe essere
$1/2(3n^2+n+6n+4)$ ?

Per il secondo l'esercizio è come dici tu!

[@melia]

Hai ragione correggo, ma ho solo sbagliato a ricopiare dal foglio il passaggio intermedio, la scomposizione finale è corretta.

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Hai ragione correggo, ma ho solo sbagliato a ricopiare dal foglio il passaggio intermedio, la scomposizione finale è corretta.

Ma poi cosa applichi di algebra per arrivare al risultato finale?
Per il secondo poi?
Grazie.

[@melia]

Adesso il testo è a posto $ 1*3+2*5+3*7+....+n(2n+1)=1/6n(n+1)(4n+5) $, ma sulla tesi non ci siamo, devi incrementare $n$ di 1 sul risultato della sommatoria, non sull'ultimo termine e basta
$ sum_(i = 1)^(n+1) i(2i+1) = 1/6(n+1)(n+2)(4n+9) $,
arrivi a $ 1/6n(n+1)(4n+5)+ (n+1)(2n+3) $ e, di nuovo l'algebra elementare interviene:
$ 1/6n(n+1)(4n+5)+ (n+1)(2n+3)=1/6(n+1)[n*(n+1)+6*(2n+3)] $ fai i conti dentro la quadra e vedrai che il risultato viene corretto.

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Adesso il testo è a posto $ 1*3+2*5+3*7+....+n(2n+1)=1/6n(n+1)(4n+5) $, ma sulla tesi non ci siamo, devi incrementare $n$ di 1 sul risultato della sommatoria, non sull'ultimo termine e basta
$ sum_(i = 1)^(n+1) i(2i+1) = 1/6(n+1)(n+2)(4n+9) $,
arrivi a $ 1/6n(n+1)(4n+5)+ (n+1)(2n+3) $ e, di nuovo l'algebra elementare interviene:
$ 1/6n(n+1)(4n+5)+ (n+1)(2n+3)=1/6(n+1)[n*(n+1)+6*(2n+3)] $ fai i conti dentro la quadra e vedrai che il risultato viene corretto.

SCusa non riesco a capire come $[n*(n+1)+6*(2n+3)]$ possa essere equivalente a $(n+2)(4n+9)$ ...
Poi anche nel pimo esercizio parli di algebra elementare ,usi qualche regola o hai verificato che $(3n^2+7n+4)=(n+1)(3n+4)$ provando a moltiplicare appunto (n+1)x(3n+4) ?

[@melia]

Ho usato la scomposizione del trinomio di secondo grado tramite le equazioni di secondo grado
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ dove $x_1$ e $x_2$ sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata al trinomio, cioè $ax^2+bx+c=0$