Simulazione esame di stato Prova di Matematica e Fisica problema 1

Messaggioda @melia » 28/02/2019, 19:40

Vi allego copia della simulazione di matematica e fisica, fresca fresca di stamattina. Qualcuno ha voglia di cimentarsi?
Ho spezzato il testo in più parti, questo è il primo problema
ESAME DI STATO DI ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE
Indirizzi: LI02, EA02 – SCIENTIFICO
LI03 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE LI15 - SCIENTIFICO - SEZIONE AD INDIRIZZO SPORTIVO
(Testo valevole anche per le corrispondenti sperimentazioni internazionali e quadriennali)
Tema di: MATEMATICA e FISICA
Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 4 quesiti.


PROBLEMA 1
Assegnate due costanti reali a e b (con a>0), si consideri la funzione q(t) così definita:
$q(t)=at*e^(bt)$

1. A seconda dei possibili valori di a e b, discutere se nel grafico della funzione q è presente un punto di massimo o di minimo. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali il grafico della funzione q(t), in un piano cartesiano di coordinate $(t,y)$, ha un massimo nel punto $B(2,8/e)$.
2. Assumendo, d’ora in avanti, di avere $a=4$ e $b=-1/2$ , studiare la funzione
$q(t)=4t*e^(- t/2)$

verificando, in particolare, che si ha un flesso nel punto $F(4,16/e^2 )$.
Determinare l’equazione della retta tangente al grafico nel punto F.

3. Supponendo che la funzione q(t) rappresenti, per t≥0, la carica elettrica (misurata in C) che attraversa all’istante di tempo t (misurato in s) la sezione di un certo conduttore, determinare le dimensioni fisiche delle costanti a e b sopra indicate. Sempre assumendo $a=4$ e $b=-1/2$ , esprimere l’intensità di corrente $i(t)$ che fluisce nel conduttore all’istante t; determinare il valore massimo ed il valore minimo di tale corrente e a quale valore essa si assesta col trascorrere del tempo.

4. Indicando, per $t_0≥0$, con $Q(t_0)$ la carica totale che attraversa la sezione del conduttore in un dato intervallo di tempo $[0,t_0 ]$, determinare a quale valore tende $Q(t_0)$ per $t_0→+∞$.
Supponendo che la resistenza del conduttore sia $R=3Ω$, scrivere (senza poi effettuare il calcolo), un integrale che fornisca l’energia dissipata nell’intervallo di tempo $[0,t_0 ]$.
Sara Gobbato

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Re: Simulazione esame di stato Prova di Matematica e Fisica problema 1

Messaggioda Indrjo Dedej » 28/02/2019, 19:43

Stamattina ho fatto fresco fresco di stampa l'altro problema. :smile:
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Re: Simulazione esame di stato Prova di Matematica e Fisica problema 1

Messaggioda peppe_89 » 02/03/2019, 23:45

Sto ragionando da giorni sui punti 3-4 di questo problema, ma non riesco a venirne a capo.
Il punto 3 dice:

sia q(t) la carica elettrica (misurata in C) che attraversa all’istante di tempo t (misurato in s) la sezione di un certo conduttore...

a me, questa, sembra proprio la definizione di corrente elettrica! qualcuno la pensa come me? o sono io che mi sto perdendo qualcosa?
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Re: Simulazione esame di stato Prova di Matematica e Fisica problema 1

Messaggioda mgrau » 03/03/2019, 07:41

peppe_89 ha scritto:Il punto 3 dice:
sia q(t) la carica elettrica (misurata in C) che attraversa all’istante di tempo t (misurato in s) la sezione di un certo conduttore...

a me, questa, sembra proprio la definizione di corrente elettrica! qualcuno la pensa come me? o sono io che mi sto perdendo qualcosa?

La corrente è la carica che attraversa una sezione NELL'UNITA' di tempo, non AD UN ISTANTE di tempo. Quella del problema, direi che è la carica CUMULATA che HA ATTRAVERSATO la sezione all'istante t, insomma l'integrale della corrente.
Certo che se invece di dire "attraversa" avessero detto "ha attraversato" si capiva meglio...
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Re: Simulazione esame di stato Prova di Matematica e Fisica problema 1

Messaggioda peppe_89 » 03/03/2019, 10:57

E quindi al punto 4, Q(t0) come si calcola? Come q(t0)? O come l'integrale di q tra 0 e t0?

Inoltre c'è un'altra considerazione da fare. Se q(t) è la carica cumulata che ha attraversato la sezione, come può essere che è una funzione che presenta un massimo dopo il quale decresce? Se fosse una quantità cumulata, non dovrebbe essere crescente nel suo dominio?
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Re: Simulazione esame di stato Prova di Matematica e Fisica problema 1

Messaggioda gugo82 » 04/03/2019, 14:49

Propongo la soluzione della parte analitica del problema.
Per me, la parte fisica ha un testo ambiguo e preferisco tralasciarla (fornendo solo qualche indicazione in merito)... Anzi, gradirei fossero gli esperti fisici del forum a dare un loro parere in merito.

@melia ha scritto:PROBLEMA 1
Assegnate due costanti reali a e b (con a>0), si consideri la funzione q(t) così definita:
$q(t)=at*e^(bt)$

1. A seconda dei possibili valori di a e b, discutere se nel grafico della funzione q è presente un punto di massimo o di minimo. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali il grafico della funzione q(t), in un piano cartesiano di coordinate $(t,y)$, ha un massimo nel punto $B(2,8/e)$.

La funzione $q(t):= ate^{bt}$ è definita ovunque in $RR$, continua e derivabile quante volte si vuole.
Per $b=0$ la funzione assegnata coincide con la funzione lineare $q(t)=at$, dunque il suo grafico è noto e possiamo tralasciare di analizzare cosa accade in questo caso: nel seguito supporremo sempre $b!=0$.

La funzione assegnata è positiva per $t>0$, negativa per $t<0$ e nulla in $t=0$, dato che il suo segno dipende unicamente dal segno di $t$.
Agli estremi del dominio si ha:
\[
\begin{split}
\lim_{t\to -\infty} q(t) &= \begin{cases} 0 &\text{, se } b > 0 \\ -\infty &\text{, se } b < 0 \end{cases} \\
\lim_{t\to +\infty} q(t) &= \begin{cases} +\infty &\text{, se } b > 0 \\ 0 &\text{, se } b < 0 \end{cases}
\end{split}
\]
ed il grafico:

  • ha un asintoto orizzontale a sinistra di equazione $y=0$ (asse delle ascisse) se $b>0$;

  • presenta un asintoto orizzontale a destra di equazione $y=0$ (asse delle ascisse) se $b<0$;

  • in nessun caso (a parte $b=0$) è dotato di asintoto obliquo, in quanto $q(t)$ va all'infinito in $+-oo$ (a seconda del segno di $b$) più velocemente di un esponenziale.

La derivata prima è:
\[
q^\prime (t) = a(1+bt)e^{bt}
\]
e risulta:
\[
q^\prime (t) \geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad 1+bt\geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad bt \geq -1\; ;
\]
quindi, discutendo l'andamento al variare del parametro $b$ otteniamo:

  • se $b>0$: $q^\prime (t) >= 0$ per $t >= -1/b$, quindi $q$ è strettamente crescente per $t >= -1/b$, strettamente decrescente per $t <= -1/b$ ed ha un minimo assoluto in $t = -1/b$;

  • se $b<0$: $q^\prime (t) >= 0$ per $t <= -1/b$, quindi $q$ è strettamente crescente per $t <= -1/b$, strettamente decrescente per $t >= -1/b$ ed ha un massimo assoluto in $t = -1/b$.

La derivata seconda è:
\[
q^{\prime \prime} (t) = ab(2+bt)e^{bt}
\]
quindi:
\[
q^{\prime \prime} (t) \geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad b^2 t \geq -2b\; ;
\]
dunque:

  • per ogni $b!=0$ risulta \(q^{\prime \prime} (t) \geq 0\) se e solo se $t >= -2/b$, cosicché la funzione $q$ è strettamente convessa per $t >= -2/b$, strettamente concava per $t <= -2/b$ ed il grafico ha un flesso nel punto di ascissa $t= -2/b$.

Seguono i grafici di $q(t)$ con $a=1$ e $b=1$ (in rosso) ed $a=2$ $b=-2/3$ (in azzurro):
        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico



La $q$ ha massimo assoluto in $(2,8/e)$ solo se $b<0$ e risulta:
\[
\begin{cases}
-\frac{1}{b} = 2\\
-\frac{a}{e b} = \frac{8}{e}
\end{cases}
\]
da cui $b=-1/2$ ed $a=4$.

@melia ha scritto: 2. Assumendo, d’ora in avanti, di avere $a=4$ e $b=-1/2$ , studiare la funzione
$q(t)=4t*e^(- t/2)$

verificando, in particolare, che si ha un flesso nel punto $F(4,16/e^2 )$.
Determinare l’equazione della retta tangente al grafico nel punto F.

Lo studio della funzione $q$ con $b=-1/2$ ed $a=4$ ricade nello spettro di quelli esaminati in precedenza, quindi il grafico si può tracciare in maniera immediata:
        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico


L'equazione della retta tangente in $F$ si calcola sfruttando la formula $q = q^\prime (4)*(t - 4) + q(4)$ quindi ha equazione $q = -4/e^2 t + (32)/e^2$.

@melia ha scritto: 3. Supponendo che la funzione q(t) rappresenti, per t≥0, la carica elettrica (misurata in C) che attraversa all’istante di tempo t (misurato in s) la sezione di un certo conduttore, determinare le dimensioni fisiche delle costanti a e b sopra indicate. Sempre assumendo $a=4$ e $b=-1/2$ , esprimere l’intensità di corrente $i(t)$ che fluisce nel conduttore all’istante t; determinare il valore massimo ed il valore minimo di tale corrente e a quale valore essa si assesta col trascorrere del tempo.

Qui si vorrebbe spingere gli studenti a ricordare che $i(t)=q^\prime (t)$, immagino, ma non sono sicuro che ciò sia fisicamente corretto (per com'è scritto il testo non mi pare, ma potrei non aver capito bene la Fisica sottostante al problema); la stessa ambiguità influisce sull'analisi dimensionale delle costanti.

@melia ha scritto: 4. Indicando, per $t_0≥0$, con $Q(t_0)$ la carica totale che attraversa la sezione del conduttore in un dato intervallo di tempo $[0,t_0 ]$, determinare a quale valore tende $Q(t_0)$ per $t_0→+∞$.
Supponendo che la resistenza del conduttore sia $R=3Ω$, scrivere (senza poi effettuare il calcolo), un integrale che fornisca l’energia dissipata nell’intervallo di tempo $[0,t_0 ]$.

Anche qui si vorrebbe spingere gli studenti a "sommare" le cariche $q(t)$ sull'intervallo $[0,t_0]$, ossia a calcolare $Q(t_0) = int_0^(t_0) q(t) "d"t$, ma non sono sicuro che ciò sia fisicamente corretto.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Simulazione esame di stato Prova di Matematica e Fisica problema 1

Messaggioda peppe_89 » 04/03/2019, 14:51

La parte matematica era a mio parere abbastanza facile. Sulla parte fisica sono d'accordo che si vorrebbe spingere gli studenti a fare quello che dici tu, ma non sono convinto sia fisicamente corretto
Ultima modifica di peppe_89 il 04/03/2019, 14:58, modificato 1 volta in totale.
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Re: Simulazione esame di stato Prova di Matematica e Fisica problema 1

Messaggioda axpgn » 04/03/2019, 14:56

@peppe_89
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Mi spieghi il senso di citare TUTTO il lunghissimo messaggio precedente?
Per rispondere si usa il tasto "RISPONDI" non il tasto "CITA"
axpgn
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Re: Simulazione esame di stato Prova di Matematica e Fisica problema 1

Messaggioda Indrjo Dedej » 04/03/2019, 15:23

gugo82 ha scritto:[...]Anzi, gradirei fossero gli esperti fisici del forum a dare un loro parere in merito[...]

A questo proposito vi rimando alla sezione di fisica per aggiornamenti. :smile:
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Re: Simulazione esame di stato Prova di Matematica e Fisica problema 1

Messaggioda Palliit » 05/03/2019, 10:39

Visto che a causa dei problemi (motivati e condivisi) originati dalla scarsa chiarezza del testo la soluzione del problema in oggetto è rimasta in sospeso, alla luce delle considerazioni fatte qui ed assunta come valida l'interpretazione della funzione $q(t)$ come descritto nella discussione che ho linkato, mi permetto di aggiungere, a beneficio degli studenti che leggono, la conclusione del punto 4.

La potenza istantanea $P(t)$ dissipata dal resistore si può esprimere come $Ri^2$, che corrisponde a:$" "P(t)=R[q'(t)]^2$ ;

integrando quest'ultima sull'intervallo di tempo specificato si ottiene l'energia $W$ richiesta:

$W=R*int_0^(t_0)[q'(t)]^2dt=Ra^2int_0^(t_0)(1+bt)^2*e^(2bt)dt" "$,


integrale di cui il calcolo non è richiesto ma è comunque eseguibile per parti, e dove ovviamente le costanti corrispondono ai valori assegnati, opportunamente dimensionati ( $a$ in $A$ , $b$ in $s^-1$ ).
Palliit
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