Limite

[HowardRoark]

Devo calcolare $lim_(x->0) (arcsin x + arctan 3x)/(sin x +3x)$ con un cambio di variabile. L'idea è quella di ricondurmi a un limite notevole.

Trovo molta difficoltà con le funzioni goniometriche inverse, non so proprio da dove cominciare; mi dareste una mano?
Grazie in anticipo.

[giammaria]

Supponiamo di dover calcolare $lim_(x->0)arcsinx/x$: con la sostituzione $x=sinu harr u=arcsinx$ diventa
$lim_(u->0)u/sinu=1$
Discorso analogo vale per l'arcotangente. Tenendo presente questo, non dovresti avere difficoltà a risolvere l'esercizio, senza neanche fare sostituzioni: basta dividere per $x$ numeratore e denominatore.

[HowardRoark]

Seguendo il tuo ragionamento ottengo: $lim_(u->0) (u+arctan(3sin u))/(sin (sin u) + 3* sin u)$, e quindi una forma indeterminata $0/0$

[HowardRoark]

Analogamente se divido numeratore e denominatore per $x$: al numeratore otterrei $lim_(x->0) (arcsin x)/x =1 + lim_(x->0) (arctan 3x)/x = 0/0 =>$ indeterminato.

Al denominatore otterrei 4, ma dato che non riesco a risolvere il numeratore non ne vengo a capo...

[SirDanielFortesque]

Hôpital?

[HowardRoark]

Hôpital?

Ovviamente potrei applicarlo agevolmente a $lim_(x->0) (arctan 3x)/x$, ma dovrei riuscire a risolvere questo limite senza Hopital.

[SirDanielFortesque]

Allora dato che non è una differenza di infinitesimi $arctg(3x)~3x, x->0$
$arcsen(x)~x, x->0$
$sen(x)~x, x->0$

Poi scoprirai in altra sede che stai sviluppando secondo MacLaurin arrestato al prim'ordine.

[Bokonon]

Raccogliendo $3x$ al denominatore diventa:

$lim_(x->0) (arcsin x + arctan 3x)/(sin x +3x)=lim_(x->0) (1/3arcsin(x)/x + arctan(3x)/(3x))/(1/3sin(x)/x +1)=(1/3+1)/(1/3+1)=1$

Gianmaria ti ha fatto vedere come si possa passare da un limite all'altro per sostituzione

[HowardRoark]

Direi che ora la cosa è piuttosto chiara...
Grazie a tutti!